О НЕКОТОРЫХ ОШИБКАХ, ДОПУСКАЕМЫХ ОБУЧАЮЩИМИСЯ ИНЖЕНЕРНЫХ КЛАССОВ В РАМКАХ ОСВОЕНИЯ КУРСА ПО ВЫБОРУ «ЛОГИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ», И СПОСОБАХ ИХ УСТРАНЕНИЯ

Аннотация: в статье приводится обзор некоторых ошибок, допускаемых обучающимися инженерных классов в рамках освоения курса по выбору «Логическое введение в математику». Помимо этого указываются возможные пути устранения перечисленных ошибок.

Ключевые слова: инженерный класс, курс по выбору, логическое введение в математику, ошибка.

В Москве третий год реализуется проект «Инженерный класс в московской школе», который позволяет улучшить качество подготовки по математике и естественнонаучным предметам за счёт использования курсов по выбору и привлечения преподавателей высшей школы. В лицее города Реутов в прошлом году также были открыты инженерные классы, где в вариативной части учебного плана есть представляющие интерес курсы по выбору, например, «Логическое введение в математику», который автору предложили вести в текущем учебном году.

Программа данного курса построена автором в соответствии с [3], и именно по этой причине данная статья существенным образом опирается на работу [3]. В некоторых вопросах удобно обращаться также к работе [2].

Предлагаемые здесь для разбора ошибки возникали у обучающихся в ходе работы в рамках освоения данного курса по выбору и, по нашему мнению, являются типичными для школьников.

В данной статье мы часто будем использовать связь между символической записью математического предложения и его «прочтением» на естественном (русском) языке. На взгляд автора, именно эта прочная связь позволяет обучающимся наиболее эффективно учиться записывать символически математические предложения (разумеется, в соответствии с синтаксисом и семантикой символического математического языка) и распознавать их логическую структуру.

Понятия «высказывательная форма» и «предикат» в данной статье отождествляются, хотя в общем случае это различные объекты (см., например, [4, §3.1]). Определения понятий и смысл обозначений, которые в нашей статье приводятся без пояснений, можно найти, например, в [3, 4].

В рамках данной статьи мы используем следующее определение отношения делимости. Пусть x и y — целые числа; будем говорить, что x делится на y  и писать , если

.

(Здесь через  обозначено множество всех целых чисел.)

1. Опускание скобок в символической записи. Вначале отметим справедливость (и практическую ценность) так называемого соглашения об экономии скобок [4,§1.2,3.2], в соответствии с которым опускают скобки в некоторых случаях. Договорённость опускать скобки основывается на упорядочении кванторов и основных логических операций по убыванию силы связывания:

, &, .

Также опускаются внешние скобки. Скобки, которые были опущены в соответствии с данным соглашением, могут быть однозначно восстановлены. В рамках нашей статьи мы условно будем называть такие скобки лишними.

Итак, скобки в символической записи математического предложения являются, на наш взгляд, почти тем же самым, что и знаки препинания в естественном языке. Поэтому опускание в символической записи скобок, не являющихся лишними, есть своего рода пунктуационная ошибка, способная кардинальным образом изменить смысл предложения.

Для иллюстрации данного факта можно предложить учащимся записать символически следующее предложение с переменной по множеству всех целых чисел:

(1) «Для любого числа, если оно делится на 15, то оно делится на 5».

Учащимися может быть предложено несколько вариантов символической записи предложения (1), и мы в рамках данного пункта рассмотрим два из них:

Скобки в предложении (2) указывают на область действия квантора: импликацию . Областью действия квантора в предложении (3) является элементарное предложение .

Предложив учащимся вспомнить упорядочение кванторов и основных логических операций по силе связывания и прочитать предложения (2) и (3) на естественном языке, можно получить соответственно следующие результаты (при необходимости можно использовать наводящие вопросы):

(4) «Для любого числа, если оно делится на 15, то оно делится на 5».
(5) «Если любое число делится на 15, то n делится на 5».

Далее следует спросить учащихся, какое из двух предложений (4) или (5) совпадает по смыслу с исходным предложением (1). Почти сразу учащиеся указывают на предложение (4). Следовательно, символической записью предложения (1) является запись (2). (Крайне ценно, если учащиеся самостоятельно сделают такой вывод.)

Кроме того, следует обратить внимание учащихся на то, что предложение (2) (соответственно, (4)) является истинным высказыванием, а предложение (3) (соответственно, (5)) — тождественно истинной высказывательной формой с одной переменной. (Она представляет собой импликацию с ложной посылкой.) Таким образом, предложения (2) и (3) не только имеют разный смысл, но и являются объектами различной математической природы.

2. Перестановка разноимённых кванторов. Пусть — произвольное предложение с двумя переменными. Несложно проверить, что, например, высказывания

и

в общем случае равносильными не являются [3, §2.2], однако для учащихся это не всегда очевидно. Для решения данной проблемы предлагается рассмотреть с учащимися несколько примеров, иллюстрирующих данный факт, а затем попросить их привести свои примеры.

Рассмотрим два предложения с переменными по множеству всех целых чисел:

, (6)
  (7)

Здесь нужно предложить учащимся прочесть записи (6) и (7) на естественном языке, желательно без использования названий переменных (букв  n и k). Записи предложений (6) и (7) на естественном языке имеют соответственно следующий вид:

(8) «Существует число, делящееся на любое число».
(9) «Для любого числа найдётся число, которое на него делится».

Понятно, что предложения (8) и (9) имеют разный смысл. В предложении (8) говорится о существовании некоего «универсального» числа, которое делится на любое число (отметим, что единственным числом с таким свойством является число  0; заметим также, что ). В предложении (9) фактически утверждается существование кратного любого числа.

Можно привести другой пример. Пусть  a и b — переменные по множеству всех прямых плоскости. Аналогично, рассмотрим два предложения:

, (10)
. (11)

Прочтения предложений (10) и (11) на естественном языке имеют соответственно следующий вид:

(12) «Существует прямая, перпендикулярная любой прямой».
(13) «Для любой прямой найдётся прямая, перпендикулярная ей».

Ясно, что предложение (10) (соответственно, (12)) — ложное высказывание, а предложение (11) (соответственно, (13)) — истинное. Следует дать ученикам время на самостоятельный анализ связей между предложениями (6)–(13).

В заключение следует обратить внимание учащихся на количество предложений, которые в общем случае можно получить из данного предложения с двумя переменными путём применения кванторов по всем переменным: 8 предложений. Подсчёт можно провести следующим образом: по каждой из двух переменных можно применить по очереди два квантора — это даёт 4 варианта. Но применять кванторы к переменным можно в разном порядке — это удваивает число возможных предложений. Итого получается 8 вариантов. Данное рассуждение без труда переносится на случай предложения с произвольным конечным числом переменных.

3. Неверная запись некоторых типов математических предложений. Рассмотрим две наиболее распространённые ошибки учащихся, связанных с символической записью предложений следующего вида:

(14) Всякий объект, обладающий свойством P, обладает свойством Q.
(15) Существует объект, обладающий свойством P, который обладает свойством Q.

Ясно [2, §20; 3, §2.4], что символическая запись высказываний (14) и (15) выглядит следующим образом:

, (16)
& . (17)

Вместо правильной записи (16) некоторые учащиеся употребляют запись

& . (18)

Чтобы показать, что запись (18) не является правильной, можно привести конкретный пример.

Рассмотрим предложение (1) из пункта 1, записав его в категорической форме [3, §3.2]:

(19) «Всякое число, делящееся на 15, делится на 5».

Если записать данное предложение символически с использованием конъюнкции, как в предложении (18), получим следующее предложение

& . (20)

Следует предложить учащимся прочесть данную запись на естественном языке:

(21) «Всякое число делится на 15 и на 5».

Далее следует спросить, имеют ли исходное предложение (19) и полученное предложение (21) одинаковый смысл. Опыт даёт, что почти сразу учащиеся отвечают отрицательно. В самом деле, предложение (21) является ложным высказыванием. В нём, в частности, утверждается делимость любого числа на 15, что, очевидно, неверно.

Рассмотрим теперь предложение (15). Вместо правильной записи (17) некоторые учащиеся употребляют запись

. (22)

Чтобы показать, что запись (22) не является правильной, снова можно привести конкретный пример.

Рассмотрим предложение с переменной по множеству всех целых чисел:

(23) «Существует чётное число, делящееся на 11».

Если записать данное предложение символически с использованием импликации, как в предложении (22), получим следующее предложение:

. (24)

Чтобы объяснить тот факт, что предложение (24) не соответствует предложению (23), можно руководствоваться следующим соображением.

Предложение вида является по существу утверждением о существовании некоего объекта, удовлетворяющего заданному свойству  P [3, §3.5]. Посмотрим с этой точки зрения на предложение (24). Обозначим через область действия квантора существования: импликацию .

Очевидно, высказывание  истинно как импликация с ложной посылкой, поэтому и исходное предложение (24), имеющее вид , также будет истинным высказыванием. Но образовавшаяся ситуация абсурдна, поскольку мы искали чётное число, делящееся на 11, а получили, что этим двум требованиям вполне удовлетворяет число 3, не являющееся чётным и не делящееся на 11.

4. Неверное употребление символов следования и равносильности. Автор встречался с ситуациями, когда некоторые учащиеся при решении уравнений или неравенств совершенно бездумно расставляли символы «» и ««» между элементами логической цепочки решения. Мы рассмотрим здесь один частный случай.

В рассуждениях некоторых учащихся можно встретить такую запись:

x²-25=0 x-5=0. (25)

Для избегания подобных ситуаций следует напомнить учащимся определения понятий следования и равносильности и попросить их самостоятельно проверить выполняемость этих определений в ситуациях наподобие (25). Так, например, следование (25) на самом деле не имеет места, поскольку не выполняется определение отношения следования [3, §2.5]: существует значение переменной x (это значение есть ), при котором предикат x²-25=0  превращается в истинное высказывание, а предикат x-5=0 — в ложное.

Однако несложно убедиться, что имеет место обратное следование: 

x-5=0    x²-25=0 ,

т. к. при всех значениях переменной x, при которых предикат x-5=0  превращается в истинное высказывание (такое значение ровно одно: 5), предикат x²-25=0  также превращается в истинное высказывание.

5. Отождествление символов «» и «» и т. п. Поскольку в программе курса есть темы «Бинарные отношения» и «Бинарные операции», стоит акцентировать внимание учащихся на том факте, что символ «» используется как символ логической операции импликации [3,§2.3], а символ «» — как символ отношения следования [3,§2.5]. Говоря более точно в терминах операций и отношений, символ «» используется как символ бинарной операции на множестве всех предложений, а символ «» — как символ бинарного отношения на множестве всех предложений. То же следует сказать про символ логической операции эквиваленции «»  и отношения равносильности «» .

Таким образом, на наш взгляд, не следует признавать корректной, например, запись

Автор беседовал с коллегами, по мнению которых различать символы «»и «» (равно как и «» и «») не следует. Однако по нашему мнению это всё-таки стоит делать, поскольку данные символы обозначают объекты разной математической природы.

6. Распознавание необходимых и достаточных условий. На взгляд автора, тема «Необходимые и достаточные условия» является камнем преткновения для учащихся при освоении курса по выбору «Логическое введение в математику». Причиной тому, вероятно, является наличие в данной теме «длинных» определений, которые существенным образом опираются на понятие импликации и тождественно истинной высказывательной формы.

Для того чтобы научить обучающихся выявлять необходимые и достаточные условия, можно предложить им простую последовательность действий, изложенную в [3, §3.4, п. 5] и состоящую из двух шагов. Мы рассмотрим её на конкретном примере. Всюду далее в этом пункте под четырёхугольником понимается выпуклый четырёхугольник.

Пусть x — переменная по множеству всех четырёхугольников плоскости, P(x) — обозначение предложения «четырёхугольник x является ромбом», Q(x) — обозначение предложения «диагонали четырёхугольника x взаимно перпендикулярны». Требуется выяснить, является ли P(x) необходимым и (или) достаточным для Q(x); является ли Q(x) необходимым и (или) достаточным для  P(x) .

Для ответа на поставленный вопрос будем действовать следующим образом.

а) Построим импликацию P(x) Q(x)  и выясним, является ли она тождественно истинной. Для этого можно обратиться к прочтению данного предложения на естественном языке (для простоты мы не используем букву x, хотя данное предложение формально является высказывательной формой):

«Если четырёхугольник является ромбом, то его диагонали взаимно перпендикулярны».

Данное предложение является теоремой школьного курса планиметрии [1, п. 46] и поэтому, очевидно, (тождественно) истинно. Теперь можно предложить учащимся вспомнить определения понятий необходимого и достаточного условий [3, §3.4]. Итак, P(x)  является достаточным условием для Q(x) , а Q(x)  — необходимым для P(x).

б) Построим теперь импликацию Q(x)  P(x) и выясним, является ли она тождественно истинной. Для этого снова прочитаем данное предложение на естественном языке (для простоты мы снова не используем букву x):

«Если диагонали четырёхугольника взаимно перпендикулярны, то такой четырёхугольник является ромбом».

Данное предложение не является (тождественно) истинным. Крайне ценно, если учащиеся сами приведут контрпример: четырёхугольник ABCD, в котором AB=AD, BC=CD и AB≠BC. Несложно проверить, что у данного четырёхугольника диагонали действительно будут взаимно перпендикулярны, однако ромбом он являться, очевидно, не будет. Итак, P(x) не является необходимым условием для Q(x) , а Q(x)  не является достаточным условием для P(x).

Таким образом, P(x) является достаточным, но не необходимым условием для Q(x), а Q(x)  — необходимым, но недостаточным условием для P(x).

7. Неверное употребление ограниченных кванторов. Ограниченные кванторы [3,§2.4] позволяют в ряде случаев существенно упростить символическую запись математического предложения, а потому пренебрегать возможностью их использования не стоит. Однако необходимо правильно употреблять их. В практике автора имела место следующая ситуация.

Рассмотрим предложение с переменной по множеству всех целых чисел:

(26) «Всякое число больше 3».

(Отметим, что это ложное высказывание.) Если попросить учащихся записать предложение (26) символически, в редких случаях можно увидеть следующую символическую запись:

n>3. (27)

По-видимому, учащиеся, записавшие таким образом предложение (26), руководствовались «правилом», условно называющимся «как слышу, так и пишу». В самом деле, если прочитать запись (27) на естественном языке «дословно», воспроизводя название каждого символа, то при желании действительно можно получить предложение (26), однако запись (27) корректной не является. Она представляет собой ограниченный квантор общности, после которого обязано стоять предложение с переменной  .

Чтобы прояснить ситуацию, можно предложить учащимся «раскрыть» ограниченный квантор общности [3, §2.4]. Будет получена следующая запись:

n   \ (n>3 ). (28)

Возникает вопрос: что должно стоять после импликации? Корректной символической записью предложения (26) является следующая:

n (n>3 ).

(Скобки здесь восстановлены для наглядности, хотя они и являются лишними в смысле пункта 1.)

Нелишним будет напомнить учащимся правила применения кванторов: кванторы применяются только к предложениям с переменными. Другими словами, предложение, содержащее квантор, может быть получено только из какого-то другого предложения с переменными. Квантор по какой-либо переменной не может существовать «в отрыве» от предложения с этой же переменной [3, §2.2].

8. Определение составного числа. Напомним одно из эквивалентных определений простого числа. Натуральное число называется простым, если

& . (29)

Если попросить учащихся записать теперь определение составного числа, то некоторые из них, не задумываясь, построят и преобразуют отрицание предложения (29), получив при этом, очевидно, следующее предложение:

& & . (30)

Проблема в том, что, хотя и преобразование отрицания предложения (29) выполнено без ошибок, предложение (30) не является определением составного числа. Для указания на ошибку следует предложить учащимся проверить, является ли натуральное число 1 составным в смысле предложенного ими определения (30).

После того, как учащиеся убедились, что число 1 согласно их определению является составным, можно предложить им исправить предложение (30). В конце концов, можно прийти к правильному определению составного числа:

& & & . (30)

В заключение отметим, что в рамках одной статьи невозможно рассмотреть все ошибки, допускаемые учащимися в рамках освоения курса по выбору «Логическое введение в математику». Здесь мы рассмотрели лишь наиболее важные, на взгляд автора, ошибки и привели для каждой вероятный путь её устранения. Мы, разумеется, не исключаем существования более простых и более результативных способов устранения этих ошибок.

ЛИТЕРАТУРА:

1. Атанасян Л.С. Геометрия. 7–9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев [и др.] — М.: Просвещение, 2010. 20-е изд. 384 с.: ил.
2. Столяр А.А. Логическое введение в математику. Минск: Вышэйшая школа, 1971. 224 с.
3. Тимофеева И.Л. Вводный курс математики: учеб. пособие для студентов учреждений высш. пед. проф. образования / И.Л. Тимофеева, И.Е. Сергеева, Е.В. Лукьянова; под ред. В.Л. Матросова — М.: Издательский центр «Академия», 2011. 240 с.
4. Тимофеева И.Л. Математическая логика. Курс лекций: учеб. пособие для студентов вузов— М.: КДУ, 2007. 2-е изд., перераб. 304 с.