ПРОБЛЕМЫ ФОРМИРОВАНИЯ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА У БУДУЩЕГО УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ

Статья опубликована в рамках: Международной научно-практической интернет-конференции «Актуальные проблемы методики обучения информатике и математике в современной школе» (Россия, г.Москва, МПГУ, 22 — 26 апреля 2019г.)

ПРОБЛЕМЫ ФОРМИРОВАНИЯ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА У БУДУЩЕГО УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ

Деза Елена Ивановна,
доктор педагогических наук, доцент,
Московский педагогический
государственный университет

Аннотация: В статье рассмотрены проблемы формирования понятия числа у студентов математических факультетов педагогических университетов. Охарактеризована роль понятия числа в математике. Проанализированы различные подходы к формированию понятия числа в современной школе. Доказана необходимость использования аксиоматического подхода при обучении студентов-математиков теории построения классических числовых систем. Продемонстрированы возможности использования элементов историзма для повышения эффективности формирования понятия числа у студентов и школьников.  

Ключевые слова: натуральное число, числовые системы, аксиоматический метод, история математики, специальные числа натурального ряда.

Понятие числа является одним из основополагающих в математике, изучение любого раздела математической науки невозможно без  использования тех или иных свойств числовых множеств, и знакомство с этими свойствами, более того, полное понимание структуры классических числовых систем, их взаимосвязи и взаимозависимости необходимо любому студенту-математику. [1, 2]

При этом выпускник математического факультета педагогического вуза должен не только сам свободно владеть понятием числа, но и уметь корректно, не нарушая принципа научности, но в то же время доступно преподнести основы теории своим ученикам. Это особенно актуально в условиях современной школы, когда богатейший выбор различных учебников и учебных пособий, с одной стороны, расширяет возможности учителя, но, с другой, требует от него умения придерживаться основных, фундаментальных математических направлений вне зависимости от структуры того или иного конкретного учебного пособия. Можно спорить о методических преимуществах (и недостатках) различных подходов к последовательности изучения целых отрицательных чисел, обыкновенных дробей и десятичных дробей. Нельзя забывать об основной цели такого изучения — формировании  у школьника понятия числа (целого, рационального, действительного, комплексного) как некоторого математического объекта, являющегося естественным обобщением уже имеющихся числовых объектов (натуральных, целых, рациональных, действительных чисел, соответственно) и сохраняющего их основные свойства, приобретая при этом новые, необходимость в которых возникла по тем или иных причинам.

Совсем нетрудно объяснить школьнику, что «все начинается с единицы». Любое натуральное число представляет собой, по сути своей, просто некоторое «собрание» — сумму —  единиц (вспомним формулировку аксиомы индукции!). На построенном нами числовом множестве мы можем безо всяких ограничений пользоваться двумя простейшими арифметическими действиями – сложением и умножением. А вот следующее действие – вычитание – мы можем себе позволить далеко не всегда. Чтобы избавиться от этого «неестественного» ограничения, нам приходится расширить наше представление о числе, перейдя от натуральных чисел к целым. Определяя целое число как разность двух натуральных (на самом деле, как целый класс разностей, но об этом можно поговорить позже), мы получаем возможность не только складывать и умножать, но и вычитать из целого числа целое число безо всяких ограничений. Теперь можно рассмотреть четвертую арифметическую операцию – деление. К сожалению, при делении целого числа на целое число мы слишком часто выходим за рамки уже построенного числового множества. Это вынуждает нас вновь расширить понятие числа, определив рациональное число как частное целого и натурального (как и ранее, на самом деле как целый класс таких частных). На новом числовом множестве «действуют» без ограничений (не забудем только о невозможности деления на ноль) уже все четыре арифметических действия. Кроме того, пользуясь рациональными числами, мы можем найти числовое выражение любой величины с любой наперед заданной степенью точности. Однако проблемы теоретического плана остаются. Извлечение квадратного корня из рационального числа может вывести нас за пределы этого числового множества. Чтобы «закрыть проблему», мы строим действительные числа, определяя их как пределы чисел рациональных (более  формально, как класс эквивалентных фундаментальных последовательностей рациональных чисел). Наконец, комплексные числа – как пары действительных – появляются при попытке позволить себе извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Собственно, все.  Можно ли познакомить с указанным подходом школьников? Можно, но не обязательно. Нужно ли владеть указанным подходом студентам – будущим учителям математики? Безусловно, причем на высоком теоретическом уровне. [4]

Курс «Числовые системы», изучаемый студентами института математики и информатики Московского педагогического государственного университета (МПГУ), предусматривает строгое аксиоматическое построение всех классических числовых конструкций: полукольца натуральных чисел, кольца целых чисел, полей рациональных, действительных и комплексных чисел.  Курс полностью отвечает основной цели — формированию у студента понятия числа.  При этом «попутно» курс решает множество других, вспомогательных (но важных) задач, систематизируя и обобщая уже имеющиеся у студентов знания из различных разделов алгебры, математического анализа, теории чисел и геометрии. [4] Достаточно упомянуть о введении в рассмотрение неархимедовой p-адической метрики как естественной альтернативы единственно известному студентам способу измерения расстояния между числами: d(x,y)=|x-y|. Использование нового способа измерения степени «близости» двух рациональных чисел позволяет построить систему p-адических чисел вместо системы чисел действительных, то есть получить альтернативный числовой объект с совершенно необычными с точки зрения практических навыков свойствами. Более того, это расширяет общее представление обучающихся о методах измерения расстояний между объектами. [5]

Однако формальный аксиоматический подход, безусловно необходимый профессиональному математику, невозможно реализовать при построении понятия числа в школьном курсе  математики, и учителю приходится искать другие возможности. Отдавая должное классическим «практико-ориентированным» приемам, традиционно используемым в этой связи в школьных учебниках, мы хотим обсудить возможности и преимущества «исторического» подхода. Как показывает опыт, использование элементов историзма при построении  различных числовых систем в школьном курсе математики позволяет не только повысить интерес к предмету,  уровень общей математической культуры школьников, но и максимально способствует задаче сохранения фундаментальных математических принципов, лежащих в основе данного построения. По сути своей логический (формальный, аксиоматический) подход является  отражением исторического процесса формирования первичных математических понятий, однако отражением, свободным от всего несущественного, нетипичного.  В основном, в главном «…логическое совпадает с историческим…», как утверждает философия. Таким образом, продуманное использование исторического материала  при  формировании понятия числа на уроках математики позволяет сохранить научную строгость изложения  без излишней формализации рассуждений, дает возможность использовать яркие запоминающиеся примеры для иллюстрации основополагающих арифметических понятий.

Проблема заключается в том, что при таком подходе к использованию элементов историзма  учитель (в частности, выпускник института математики и информатики МПГУ) должен не только хорошо знать основные факты истории  математики (и великих математиков), но и четко понимать историю развития основных математических идей. Формирование такого представления возможно только при комплексном изучении соответствующих вопросов, в частности, при дополнении курса «Числовые системы» курсами «История математики», а также специальными курсами, на которых изучаются те или иные числовые множества, в том числе и в контексте их исторического формирования и развития. С этой точки зрения, как показывает многолетний опыт обучения студентов, трудно переоценить использование теории специальных чисел натурального ряда: фигурных, совершенных, дружественных, чисел Ферма, Мерсенна, Стирлинга, Каталана и др., и многолетний опыт их использования при обучении студентов. [1, 3].

ЛИТЕРАТУРА:

  1. Деза Е.И. Многоуровневая предметная подготовка учителя математики новой формации // Наука и школа. № 2.    С. 86 — 94.
  2. Деза Е.И. Особенности реализации концепции создания индивидуальных траекторий фундаментальной подготовки учителя математики в условиях вариативного образования // Наука и школа.  № 2.  С. 28 — 34.
  3. Деза Е.И. Специальные числа натурального ряда. М.: УРСС, 2011. 240 с.
  4. Нечаев В.И. Числовые системы. М.: Просвещение, 1975. 199 с.
  5. Deza M.M., Deza E.I.  Encyclopedia of Distances, 4-nd expanded edition. Springer-Verlag, 2016. 722 p.
avatar
  Подписаться  
newest oldest most voted
Уведомить о
Боженкова Людмила Ивановна
Боженкова Людмила Ивановна

Уважаемая Елена Ивановна! Полностью поддерживаю Вашу идею о значимости курса «Числовые системы» , в том числе для понимания студентами теоретических основ числовой содержательно-методической линии школьного курса математики. Понимание студентами необходимости обязательного отражения теории числовых систем (на содержательном уровне) в школьном курсе математики, владение способами такого отражения, знание замечательной многовековой истории развития числовой линии, результатом которого явилось теоретическое обоснование арифметики — важнейшая задача курса частной методики обучения математике.

Деза
Деза

Спасибо большое, Людмила Ивановна!

Сандалова Мария
Сандалова Мария

Спасибо за статью! Пойду читать про p-адические числа, раз уж мне не посчастливилось прослушать весь курс, очень заинтересовало! А актуальность сформированного понятия числа у учителя математики после прочтения статьи для меня теперь очевидна.

Деза
Деза

Спасибо! Про р-адические числа лучше начать с В.И. Нечаева, Числовые системы. Коблиц — посложнее. Нужны будут комментарии — всегда рада помочь.