МЕТОДИЧЕСКИЕ ВОЗМОЖНОСТИ РЕАЛИЗАЦИИ КУРСА ПО ВЫБОРУ «ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ» ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 10-11 КЛАССОВ В УСЛОВИЯХ ПРИМЕНЕНИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Статья опубликована в рамках: Международной научно-практической интернет-конференции «Актуальные проблемы методики обучения информатике и математике в современной школе» (Россия, г.Москва, МПГУ, 22 — 26 апреля 2019г.)

МЕТОДИЧЕСКИЕ ВОЗМОЖНОСТИ РЕАЛИЗАЦИИ КУРСА ПО ВЫБОРУ «ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ» ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 10-11 КЛАССОВ В УСЛОВИЯХ ПРИМЕНЕНИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Эргешова Ангелина Владимировна,
магистрант, Московский педагогический
государственный университет

Аннотация: в работе проанализированы информационно – методические возможности курса по выбору «Целые точки», разработана программа курса по выбору, включающая в себя решение задачи нахождения числа целых точек в заданной области при использовании среды программирования «NetBeans»,  предложен  примерный тематический план курса.

Ключевые слова: целые точки, курс по выбору, методические возможности математического курса по выбору.

Курсы по выбору в профильных классах, обязательные на ступени среднего общего образования, представляют большой интерес для обучающихся. В отличие от профильных курсов, курсы по выбору напрямую связаны с каждым учащимся, опираются на его склонности и образовательные интересы. Задача учителей — сделать курсы по выбору полезными, занимательными и, действительно, ориентированными на развитие способностей обучающихся.

Курс по выбору «Целые точки» предназначен для учащихся 10-11 классов естественно-научного профиля. Данный курс призван познакомить старшеклассников с одним из интереснейших  разделов современной математики – теорией чисел. Одной из классических проблем теории чисел является задача о нахождении целых точек в некоторой замкнутой области, т.е. задача нахождения асимптотической формулы для количества точек с целочисленными координатами, принадлежащими данной области.  Именно этим вопросам посвящен разработанный нами курс по выбору «Целые точки». В курсе рассматриваются области, которые ограничены геометрическими фигурами, известными обучающимся – прямыми, параболой, гиперболой, окружностью и т.д. Для решения поставленных проблем используются как классические, так и специфические методы аналитической теории чисел. Это полезно, в том числе, для повторения, обобщения, углубления уже имеющихся знаний учащихся в области алгебры и математического анализа. Разрабатываемый курс по выбору  имеет связи с дискретной математикой [2], информатикой и интегральным исчислением, чем объясняется  полезность курса в рамках актуализации межпредметных связей.

Для повышения интереса обучающихся к предмету нельзя обойти стороной и применение новых технологий. Возможности повышения эффективности процесса обучения содержатся не только и не столько в техническом оснащении школьных классов, сколько во внедрении новых педагогических технологий, в том числе связанных с обработкой информации.

Под информационной технологией (ИТ) понимается совокупность методов и технических средств сбора, организации, хранения, обработки, передачи и представления информации, расширяющая знания людей. В практической деятельности под информационными технологиями обучения понимаются все технологии, использующие специальные технические информационные средства (ЭВМ, видео, кино, радио и т.д.).

Под компьютерной технологией обучения будем понимать технологию, сочетающую классно – урочную форму организации учебной деятельности с использованием учителем компьютера для реализации различных целей (объяснение нового материала, проведение тестов или контрольных работ, выдача дополнительных инструкций и т.д.) и учетом необходимости развития индивидуальных и творческих качеств учащегося, его вовлечения в активную учебную деятельность, реализации принципов обратной связи.

Курс по выбору «Целые точки» предполагает изучение следующих ключевых вопросов:

  • определение и свойства функций y=[x] и  y={x} ;
  • символы O ( ) и o( ), их свойства [1];
  • метод интегрирования по частям;
  • формула Эйлера-Маклорена о замене конечных сумм интегралом;
  • решение задачи подсчёта числа целых точек в замкнутых областях, ограниченных простейшими линиями (отрезками прямых, параболой, гиперболой, окружностью и др.), различными методами.
  • использование ИТ для решения проблем такого типа.

Содержание курса по выбору  разделено на шесть блоков (рис. 1).

  1. Введение в предмет «Целые точки». Понятие целой точки. Целые точки в круге, под гиперболой, другие случаи. Подсчет целых точек как проблема аналитической теории чисел. История вопроса. Проблема делителей Дирихле о подсчете целых точек под гиперболой. Проблема Гаусса о подсчете целых точек в круге. Другие случаи. Постановка задачи суммирования целых точек.
  2. Элементарный метод подсчета целых точек. Элементарная формула. Определение и свойства функций y=[x] и  y={x}. Целая часть числа, примеры, решение задач. Подсчет числа целых точек по элементарной формуле, примеры. Подсчет числа целых точек в области,ограниченной прямыми, параболой, в круге, под гиперболой. Рассмотрение новых фигур: эллипс, астроида, локон Аньези; поиск целых точек в этих областях.
  3. Асимптотическая формула для подсчета целых точек в некоторых областях. Символы  O ( ) и o( ), примеры, решение задач. Формула для подсчета целых точек в асимптотическом виде с помощью элементарной оценки. Подсчет числа целых точек в области, ограниченной прямыми, параболой, локоном Аньези, астроидой, в круге, под гиперболой, в эллипсе с помощью асимптотической формулы.
  4. Интегрирование. Первообразная. Основные правила нахождения первообразных. Интеграл. Метод интегрирования по частям. Свойства интегрирования.
  5. Формула Эйлера-Маклорена. Замена конечных сумм интегралом. Подсчет числа целых точек с помощью формулы Эйлера – Маклорена в области, ограниченной прямыми, параболой, локоном Аньези, астроидой, в круге, под гиперболой, в эллипсе.
  6. Решение задач в среде программирования «NetBeans» с использованием формулы Эйлера – Маклорена. Составление программы на языке программирования «Java», позволяющей производить подсчет по общей формуле Эйлера – Маклорена. Подсчет числа целых точек в области, ограниченной прямыми, параболой, в круге, под гиперболой с помощью формулы Эйлера — Маклорена, пользуясь средой программирования «NetBeans».

Рисунок 1

Организация занятий курса по выбору «Целые точки» рекомендуется в соответствии с тематическим планом, представленным в табл. 1.

Таблица 1

Номер темы Название темы Количество часов
1. Введение в предмет «Целые точки». 8
2. Элементарный метод подсчета целых точек. 4
3. Асимптотическая формула для подсчета целых точек в некоторых областях. 4
4. Интегрирование. 6
5. Формула Эйлера — Маклорена. 6
6. Решение задач в среде программирования с использованием формулы Эйлера – Маклорена. 6
Всего часов 34   

Разрабатываемый курс по выбору рассчитан на 34 часа (на полугодие). Рекомендовано проводить занятия 2 часа в неделю (2 урока подряд).

Изучение курса по выбору «Целые точки» преследует следующие цели:

  • развитие общей математической культуры учащихся, расширение математического кругозора;
  • углубление и расширение уже имеющихся знаний (приводятся дополнительные примеры периодических функций, рассматриваются новые виды кривых – эллипс, астроида, локон Аньези и др. – и их свойства, изучается новый метод интегрирования – по частям и т.д.);
  • применение сформированных умений (в т.ч. рассуждения, доказательства) в новых условиях;
  • знакомство школьников с современными математическими методами исследования (осуществление плавного перехода от школьной математики к высшей)
  • применение среды программирования «NetBeans» к подсчету числа целых точек.

Не предполагается использование учителем какого-либо определённого учебника, однако предполагается изучение основных тем профильной программы по математике в соответствии с ФГОС [3]. В частности, к началу изучения курса учащиеся

должны быть знакомы с понятиями:

  • производной функции;
  • площади криволинейной трапеции;
  • первообразной;
  • определённого интеграла;
  • алгоритм
  • среда программирования
  • язык программирования

должны знать и уметь применять для решения задач:

  • правила вычисления производных основных элементарных функций, а также производной суммы, разности, произведения, частного;
  • правила вычисления первообразных основных элементарных функций;
  • формулу Ньютона-Лейбница;
  • правила использования среды программирования «NetBeans»;
  • способы реализации решения на языке программирования «Java».

Рассмотрим применение компьютерных технологий при самостоятельной работе обучающихся в период актуализации знаний и во время закрепления знаний – именно эти направления будут реализовываться в процессе разработки курса по выбору «Целые точки».

Для решения задач обучающимися с помощью среды программирования «NetBeans» будут реализованы программы на языке «Java», подсчитывающие число целых точек в некоторых замкнутых областях с помощью формулы Эйлера – Маклорена. Для области, ограниченной прямыми, параболой, под гиперболой, в круге задача должна быть решена и реализована в среде всеми учащимися, а те, кто заинтересовался сильнее, смогут взять более трудные задачи (в области, ограниченной локоном Аньези, астроидой, в эллипсе) и подготовить проекты по итогам выполнения.

Данный курс нуждается в компьютерном сопровождении, поэтому необходимо вспомнить об аспектах применения ИТ в среднем общем образовании:

  • компьютер в учебном процессе должен быть направлен на совершенствование педагогического процесса и освобождение учителя от рутинной работы;
  • использование компьютеров в учебном процессе выдвигает новые требования к информационной культуре педагога и качеству отбора учебного материала с учетом свойств информации (полнота, глубина, доступность, краткость, ценность, убедительность и т.д.);
  • использование компьютерной техники в процессе обучения должно быть методически оправдано (нельзя пытаться переложить на компьютер все функции учителя в обучении, в частности, функцию управления учебным процессом или воспитательную функцию).

Основная методическая проблема, возникшая при разработке курса – так организовать его изучение, чтобы, несмотря на строгость математических доказательств, трудных терминов, подсчетов, сделать их интересными и доступными для обучающихся.

ЛИТЕРАТУРА:

  1. Бухштаб А.А. Теория чисел: Учебное пособие. – СПб.: Издательство Лань, 2008
  2. Деза Е.И., Алфимова А.С. Целые точки. Введение в асимптотические методы. – М.: МПГУ, 2006
  3. Приказ Министерства образования и науки Российской Федерации № 413 от 17 мая 2012 г. «Об утверждении федерального государственного образовательного стандарта среднего общего образования»[Электронный ресурс]. // Министерство просвещения РФ. 2018. 12 октября. URL: https://docs.edu.gov.ru/document/bf0ceabdc94110049a583890956abbfa/ (дата обращения 14.04.2019)
avatar
  Подписаться  
newest oldest most voted
Уведомить о
Александра Романовна
Александра Романовна

Планируете ли Вы использование информационных технологий на первых 5 этапах Вашего курса? И если да, то каким образом: будет создана обучающая платформа или разработаны интерактивные уроки?

Ангелина Владимировна
Ангелина Владимировна

Спасибо за Ваш вопрос. Применение информационных технологий имеет большое значение в обучении старших классов. Данный курс по выбору находится в стадии разработки, планируется сопровождение на платформе Stepik и, соответственно, разработка интерактивных уроков с использованием технологии смешанного обучения

Наталья
Наталья

Ангелина, спасибо за интересную статью! Скажите, пожалуйста, была ли проведена апробация некоторых уже разработанных учебных материалов? Если да, то возникли ли трудности у обучающихся при освоении курса по выбору?

Ангелина Владимировна
Ангелина Владимировна

Спасибо за Ваш вопрос. Полная апробация данного курса по плану будет реализована в сентябре-декабре 2019 в рамках педагогической практики в магистратуре. В текущем семестре (февраль-июнь) апрбоция частично проходит в 10 классах «ГБОУ школа 1253», где я нахожусь на рассосредоточенной педагогической практике. На данный момент можно сказать, что проблем не возникло. Обучающиеся в этом учреждении мотивированы и с большим интересом усваивают материал, связанный с разделом аналитической теории чисел.

Наталья
Наталья

Спасибо за ответ. Желаю Вам успехов в дальнейшей работе!

Екатерина
Екатерина

Уважаемая Ангелина!
Благодарю Вас за изумительную статью! В конце своей работы Вы пишете о том, что у Вас возникла проблема, как организовать внедрение курса так, чтобы он был доступен для обучающихся. Есть ли уже решение? Или на это уйдет еще некоторое время?

Ангелина Владимировна
Ангелина Владимировна

Спасибо за Ваш вопрос. Данная проблема возникла, т.к. данный курс по выбору связан с теорией чисел, которая не является обязательной частью школьной программы. Трудные математические понятия, свойства могут трудно даваться обучающимся, что ослабит интерес. Решение есть — разработать курс по выбору, методические материалы, которые позволят учителю и ученику взаимодействовать продуктивно. Над этим сейчас и ведётся работа. Более полное исследование будет представлено в моей магистерской диссертации (2020 г. ).

Р.А.М.
Р.А.М.

Здравствуйте, Ангелина!
Ваша статья была очень интересна, спасибо!