МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ СРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
Киреева Ольга Ильинична,
кандидат физико-математических наук, доцент,
Российский государственный
социальный университет
Аннотация: Материал темы «Сравнения и системы сравнений первой степени с одной неизвестной» относится к числу сложных для восприятия. Тем не менее выработка у обучающихся твердых навыков решения сравнений – это вполне реальная задача. В статье предлагается подборка примеров по данной теме, выстроенных по возрастанию сложности.
Ключевые слова: сравнения, модульная арифметика, методика обучения.
Прослеживая историю становления теории сравнений в [1], мы встретим фамилии таких ученых и философов, как Диофант, Ферма, Лейбниц, Эйлер. Как отмечено в [2], используемое в настоящее время обозначение сравнений ввел Гаусс в труде «Арифметические исследования». Школьники знакомятся с понятием сравнения по модулю в курсах алгебры и информатики, применение сравнений в решении задач на делимость встречается в решениях олимпиадных задач и задач ЕГЭ. Знание понятий модульной арифметики является необходимым компонентом подготовки бакалавров по направлениям, связанным не только с информационной безопасностью, но смежным направлениям, касающихся разработки информационно-коммуникационных технологий: бизнес-информатика, прикладная математика и информатика, способствуя, как отметалось в [3,4], формированию математической культуры специалистов таких областей на основе системного подхода к преподаванию математических дисциплин.
Предлагаемая ниже методика обучения решению сравнений первой степени является технологическим процессом усвоения понятия сравнений и закрепления навыков решения задач.
Основное содержание понятия сравнения заключено в определении ниже.
Целые числа a и b называются сравнимыми по модулю m (m – натуральное), если при делении на число m они дают одинаковые остатки. При этом записывают: ab (mod m).
Сравнения первой степени с одним неизвестным имеют вид
ax b (mod m),
где a, b, n – целые, n>0. Решить сравнение – значит найти все целые значения переменной x, удовлетворяющие сравнению.
Простейшие сравнения имеют вид x b (mod m), , где b<m.
Пример 1.1.
x 3 (mod 5).
Решением данного сравнения является множество целых чисел, которые при делении на 5 дают остаток 3. Значит x=3+5k, kZ (здесь и далее Z – множество целых чисел).
Краткая запись решения сравнений такого типа приводится в следующем примере.
Пример 1.2.
x2 (mod 7),
x=2+7k, kZ.
Далее рассматривается решение сравнений с постепенным повышением уровня сложности.
Пример 1.3.
x7 (mod 4).
Упростим сравнение. Числа x и 7 при делении на 4 дают один и тот же остаток. Так как 7 при делении на 4 дает остаток 3, то
x3 (mod 4),
x=3+4k, kZ.
Следующее, чуть более сложное сравнение.
Пример 1.4.
x25 (mod 4),
x4∙6+1(mod 4),
x1 (mod 4),
x=1+4k, kZ.
Заметим, если слагаемое в правой или левой части при делении на модуль m дает остаток 0, то его можно отбросить.
Пример 1.5.
7x 14 (mod 6),
6x+x12 (mod 6),
x2 (mod 6),
x=2+6k, kZ.
Далее рассматривается решение сравнений вида axb (mod m) для значений a≠1.
При решении сравнения
axb (mod m)
возможны следующие случаи.
- Если НОД(a, m)=1, то данное сравнение имеет одну серию решений x=x0+ mk, kZ.
- Если НОД(a, m)=d>1, то
2а) Если b делится на d, то сравнение не имеет решений.
2б) Если b не делится на d, то сравнение имеет d решений.
Пусть a = a1d, b = b1d, m = m1d, тогда
a1dx b1d (mod m1d),
a1x b1 (mod m1)
Если число x0 – одно из решений этого сравнения, то исходное сравнение имеет d серий решений:
x=x0+ mk, k Z,
x=x0+ m1 +mk, k Z,
x=x0+ 2m1 +mk, k Z,
…,
x=x0+ (d-1)m1 +mk, k Z.
Все d серий решений исходного сравнения можно записать одной формулой x=x0+ mk, k Z.
Далее следует рассмотреть несколько примеров решений сравнений этого типа.
Пример 2.1.
5x 4 (mod 3),
3x+2x 3+1 (mod 3),
2x 1 (mod 3),
НОД(2,3)=1, сравнение имеет одну серию решений.
Подбором находим одно из решений: x0= 2.
Общее решение x=2+3k, k Z.
Пример 2.2.
3x 2 (mod 5),
НОД(3,5)=1, сравнение имеет одну серию решений:
x0= 4,
x=4+5k, k Z.
Пример 2.3.
2x 1 (mod 4),
НОД(2,4)=2, но правая часть 1 не делится на 2, значит, сравнение не имеет решений.
Пример 2.4.
4x 5 (mod 7),
НОД(4,7)=1, сравнение имеет одну серию решений:
x0= 3,
x=3+7k, k Z.
Пример 2.5.
7x 2 (mod 5),
5x+2x 2 (mod 5),
2x 2 (mod 5),
НОД(2,5)=1, сравнение имеет одну серию решений:
x0= 1,
x=1+5k, k Z.
Пример 2.6.
3x 2 (mod 6),
НОД(3,6)=3,но правая часть 2 не делится на 3, значит, сравнение не имеет решений.
Пример 2.7.
8x 20 (mod 12),
8x 12+8 (mod 12), a=8, b=8, m=12,
8x 8 (mod 12),
НОД(8,12)=4=d, d=4 делит правую часть 8, значит, исходное сравнение имеет 4 решения. Сокращаем на d=4:
2x 2 (mod 3), a1=2, b1=2, m1=3, подбором находим x0= 2.
Получаем четыре серии решений:
x=x0+ mk=1+12k, k Z,
x=x0+ m1 +mk=1+3+12k=4+12k, k Z,
x=x0+ 2m1 +mk=1+3∙2+12k=7+12k, k Z,
x=x0+ 3m1 +mk=1+3∙3+12k=10+12k, k Z.
Все четыре серии решений можно записать одной формулой – как решение сравнения 2x 2 (mod 3),
x0= 1,
x=x0+ m1k, k Z,
x=1+3k, k Z.
Пример 2.8.
72x 2 (mod 10),
70x+2x 2 (mod 10),
2x 2 (mod 10), a=2, b=52, m=10,
НОД(2,10)=2=d, правая часть 2 делится на d=2, значит, сравнение имеет две серии решений. Сокращаем на d=2:
x 1 (mod 5), a1=1, b1=1, m1=5,
подбором находим x0= 1.
Получаем две серии решений:
x=1+10k, k Z,
x=6+10k, k Z.
Обе серии решений можно записать одной формулой – как решение сравнения x 1 (mod 5) x=1+5k, k Z.
Проведение занятий по разработанной методике приводит к гарантированному результату усвоения обучающимися технологии решения аналогичных задач. Соответствующие эксперименты были проведены при участии студентов направления бизнес-информатики. Увеличение доли обучающихся, правильно решивших 80% и более тестовых примеров являлось значимым, что проверялось с помощью критерия углового преобразования Фишера.
ЛИТЕРАТУРА:
- Бабаш А.В., Шанкин Г.П. Криптография. М.: Солон-Пресс, 2007. 512 с.
- Вейль А. Основы теории чисел. М.: Мир, 1972. 408 с.
- Жукова Г.С., Романова Е.Ю. Развитие профессионально-математической культуры специалистов экономического профиля в системе «вуз — повышение квалификации». Образование и саморазвитие, 2013, № 2 (36). с. 98-103.
- Романова Е.Ю. Формирование в вузе профессионально-математической культуры будущих специалистов в сфере бизнес-информатики: дис. канд. пед. наук. М., 2013. 186 с.