МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ КОНСТРУКТИВНЫХ И ЛОГИЧЕСКИХ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ

Статья опубликована в рамках: Международной научно-практической интернет-конференции «Актуальные проблемы методики обучения информатике и математике в современной школе» (Россия, г.Москва, МПГУ, 22 — 26 апреля 2019г.)

МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ КОНСТРУКТИВНЫХ И ЛОГИЧЕСКИХ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ

Долгополова Ольга Борисовна,
кандидат физико-математических наук, доцент,
Бадак Бажена Александровна,
студентка механико-математического факультета,
Белорусский государственный университет

Аннотация: в данной статье поделимся опытом преподавания, используя эвристические методы и приёмы в обучении математики при рассмотрении доказательств теорем в школе.

Ключевые слова: доказательство  теорем, необходимое достаточное условие, критерии и свойства, признаки делимости.

В современной методике преподавания математики в последнее время становятся  актуальными такие проблемы, как «Как научить детей доказательству теорем?», «Как найти взаимосвязь в предмете математика в 5-7 классах», «Связь между формулировками одних теорем с другими», «Непрерывная связь школьного обучения и вузовского» и др. В 7 классе появляется такой раздел математики как геометрия, которая классически построена на изучении аксиоматики и изучении теорем с доказательствами, поэтому нужно понимать, что теоремы бывают разного вида, к которым, начиная с 5 класса стоило бы подготовить ребёнка. Таким образом, можно установить данную непрерывную связь, применяя эвристический метод обучения.

И мы в своей работе хотим показать, как важно, чтобы дети уже, начиная с 5 класса, имели представление о неких утверждениях и их доказательствах. Надо показать школьникам, что такое необходимое и достаточное условия, чем эти условия отличаются от критерия.

Студенты БГУ на механико-математическом факультете под руководством преподавателей проводят  занятия в «Школе юного математика». На данных занятиях мы учим детей доказывать утверждения , но сначала на простых житейских примерах пытаемся показать и объяснить различия между необходимым, достаточным, необходимым и достаточным условием.

Предложим и сформулируем следующее задание ученикам, предварительно разбив учащихся на 3 группы. Предположим, что вы «следователь» и вам необходимо вычислить всех учеников 7 «Б» класса средней школы №12 города Минска. Первой группе скажем о том, что все ученики 7 «Б» класса являются учениками средней школы №12 города Минска. Скажите, смогут ли в данном случае ученики первой группы выполнить задание? Какого сорта условие они получили?

Мы видим, что взяв всех учеников средней  школы №12, найдут много лишних учеников, хотя все ученики из класса «будут у них в руках». То есть «следователи» первой группы будут пользоваться необходимым условием принадлежности учеников 7 «Б» класса, а именно, если ученик учится в 7 «Б» классе, то отсюда следует, что он учится в  школе №12. Это условие может быть полезно тем, что следователи могут «отсеять» большое количество неподходящих. Например, бабушка не учится в школе, значит, она не ученик 7 «Б» класса. Обычно необходимое условие так и работает. То есть, вместо утверждения из А следует В часто пользуются эквивалентным утверждением: если В не выполняется, то отсюда следует, что и А не выполняется. Кстати, усвоение этого принципа  очень важно при изучении высшей математики. Например, необходимым условием сходимости ряда является стремление к  0 n — члена, то есть  если n — член не стремится к  0, значит, ряд расходится, если -член стремится к 0, то ряд можно исследовать дальше, и вопрос о сходимости еще не решен.

Вторая группа учащихся получает следующее условие: члены вокально-инструментального ансамбля «Беларусь» учатся в 7 «Б» классе, то есть, взяв всех членов ансамбля эти «следователи» поймают учеников 7 «Б» класса, но не всех, потому что не все ученики  учатся в ансамбле. Зато эти члены не схватят ни одного лишнего человека. Таким образом, члены второй группы имеют достаточное условие, если ученик играет в ансамбле, то он учится в 7 «Б» классе. Эти условия позволяют описать только часть учеников в классе. Достаточные условия встречаются в высшей математики. Например, достаточным условием интегрируемости функции на отрезке [a, b] является ее непрерывность на этом отрезке.

«Следователи»-ученики последней группы получили журнал класса. И они смогли поймать всех учеников класса и не взять при этом ни одного лишнего, так как у них было необходимое и достаточное условие. Ученики учатся в 7 «Б» классе тогда и только тогда, когда их фамилии есть в списке журнала. Эти условия самые лучшие. К сожалению, эти условия очень трудно, а иногда невозможно сформулировать в высшей математики. Например, не известны до сих пор необходимое и достаточное условие локального экстремума.

Необходимое и  достаточное условие   называется  также критерием. В высшей математики известны множество критериев,  например критерий интегрируемости Дарбу и Лебега.

Также  мы отрабатываем на занятиях в «Школе юного математика» понятия необходимого и достаточного условия на различных примерах и задачах.

Однако следует заметить, что в современных белорусских учебниках по математики имеется несогласованность в названии подобных утверждений. Например, изучая признаки делимости в 5-ом классе, школьники изучают необходимое и достаточное условия, которые называются в этих учебниках признаками. В учебнике  по геометрии признаками называются достаточные условия, необходимые условия называются свойствами, что нам кажется более естественным. Поэтому мы думаем, что в 5 классе вместо признаков делимости надо говорить о критериях делимости, что, конечно, пока еще не привычно, либо в 7 классе вместо слово признаки использовать слово «достаточное условие».

При подготовке урока по теме «Признаки делимости» мы разделили их на 3 группы по способу доказательства. Первая группа включает себя доказательство по одной или нескольким последним цифрам, так, например, это признаки делимости на  2, 4, 5, 8, 10, 25 и так далее, вторая-по сумме цифр или комбинации (это признаки делимости на 3, 7, 9, 11) и третья-признаки делимости на числа вида a*b , где  НОД(a,b)=1 (например, признак делимости на 6).

Часть признаков каждой группы мы формулируем и доказываем сами, а остальные предлагаем доказать ученикам самостоятельно.

Интересно заметить, что решение задач на эту тему может подвести и к изучению других разделов математики, таких  как  «Теория графов», «Комбинаторика» и др.

Расширяя эту тему и повторяя ее в старших классах, очень интересно рассмотреть признаки делимости в других системах счисления, например в  8 -ой или  16 системах счисления.

Например, в 8-ой системе счисления число делится на 8 тогда и только тогда, когда последняя его цифра делится на 8. Аналогичный признак делимости будет на  2 и на 4. А число делится на 16 и на 64 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя последними цифрами делится на 16 и на 64 соответственно. Число делится на 7, тогда и только тогда, когда сумма цифр делится на 7 и так далее. И можно предложить самим ученикам исследовать признаки делимости в 12 системе счисления.

Таким образом, можно сделать следующий вывод: применяя эту методику, мы получаем на своих занятиях соответствующие  результаты. В этом году ученики заняли призовые места в различных математических турнирах и олимпиадах.

ЛИТЕРАТУРА:

  1. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высшая школа, 1986.
  2. Канель-Белов А.Я., Ковальджи А.К. Как решают нестандартные задачи. М.: МЦНМО, 2008.
  3. Ч.Чень, Р.Ли Математическая логика и автоматическое доказательство теорем. М.: Главная редакция физико-математической литературы, 1983.
avatar
  Подписаться  
newest oldest most voted
Уведомить о
Никита
Никита

Данная статья будет весьма полезна тем, кто ведет факультативы. Сам неоднократно сталкивался с трудностями при прохождении данных тем, которые отлично раскрыты в вышеприведенной статье. Рекомендую к изучению.

Боженкова Людмила Ивановна
Боженкова Людмила Ивановна

Уважаемые Ольга Борисовна и Бажена Александровна, проблема, обсуждаемая в вашей статье не теряет своей актуальности уже много лет. Было бы интересно обсудить её на очной конференции, проводимой 1 раз в два года в ФГБОУ ВО «МПГУ» в институте математики и информатике (следующая конференция в 2020 году). Успехов Вам!

Бажена Александровна
Бажена Александровна

Большое спасибо!

Галина
Галина

Считаю тему статьи очень важной. Действительно, слишком много путаницы в словах «признак», «свойство», критерий и т.п. Разумеется, если дети сразу будут привыкать к понятиям «необходимое условие», «достаточное условие», «критерий», то это облегчит понимание формулировок и доказательств теорем, сформирует высокую математическую культуру. Мне кажется, что было бы полезно ввести тему «Логика» уже в самых младших классах.
С другой стороны, термины «признак» и «свойство»уже устоявшиеся, отказ от них в учебниках потребует глубинной переработки программ и учебников.

Дарья
Дарья

Без сомнения , важно донести суть ключевых принципов математики юным неокрепшим умам как можно раньше, что позволит уже в столь малом возрасте выработать правильное математическое мышление . Проблема «разбросанной» школьной математики стоит остро: детей учат решать шаблонные задачи , программа заточена под сдачу ЦТ, сдав которое , отрок, с головой наполненной клеше алгоритмов, поступает в ВУЗ, совершенно не владея критическим подходом. Вспоминается история великого композитора Вольфганга Амадея Моцарта, которого отец обучал игре на фортепиано с трёх лет, отчаянно бив будущего гения по пальцам указкой за неправильную аппликатуру (основу виртуозной игры). Однако , стоит делать ставку на возраст, поэтому фундаментальные идеи… Read more »

Ангелина
Ангелина

Очень интересная и важная статья! Такие методы преподавания дают ученикам лучшее представление о математике, учат рассуждать и в то же время заинтересовывают их.
Было бы хорошо, если бы составители учебников и учителя к вам прислушались.