МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ СРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ

By | 22.04.2019
Статья опубликована в рамках: Международной научно-практической интернет-конференции «Актуальные проблемы методики обучения информатике и математике в современной школе» (Россия, г.Москва, МПГУ, 22 — 26 апреля 2019г.)

МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ СРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ

Киреева Ольга Ильинична,
кандидат физико-математических наук, доцент,
Российский государственный
социальный университет

Аннотация: Материал темы «Сравнения и системы сравнений первой степени с одной неизвестной» относится к числу сложных для восприятия. Тем не менее выработка у обучающихся твердых навыков решения сравнений – это вполне реальная задача. В статье предлагается подборка примеров по данной теме, выстроенных по возрастанию сложности.

Ключевые слова: сравнения, модульная арифметика, методика обучения.

Прослеживая историю становления теории сравнений в [1], мы встретим фамилии таких ученых и философов, как Диофант, Ферма, Лейбниц, Эйлер. Как отмечено в [2], используемое в настоящее время обозначение сравнений ввел Гаусс в труде «Арифметические исследования». Школьники знакомятся с понятием сравнения по модулю в курсах алгебры и информатики, применение сравнений в решении задач на делимость встречается в решениях олимпиадных задач и задач ЕГЭ. Знание понятий модульной арифметики является необходимым компонентом подготовки бакалавров по направлениям, связанным не только с информационной безопасностью, но смежным направлениям, касающихся разработки информационно-коммуникационных технологий: бизнес-информатика, прикладная математика и информатика, способствуя, как отметалось в [3,4], формированию математической культуры специалистов таких областей на основе системного подхода к преподаванию математических дисциплин.

Предлагаемая ниже методика обучения решению сравнений первой степени является технологическим процессом усвоения понятия сравнений и закрепления навыков решения задач.

Основное содержание понятия сравнения заключено в определении ниже.

Целые числа a и b называются сравнимыми по модулю m (m – натуральное), если при делении на число m они дают одинаковые остатки. При этом записывают: a \equiv (mod m).

Сравнения первой степени с одним неизвестным имеют вид
ax  \equiv b (mod m),
где a, b, n – целые, n>0. Решить сравнение – значит найти все целые значения переменной x, удовлетворяющие сравнению.

Простейшие сравнения имеют вид x  \equiv b (mod m), , где b<m.

Пример 1.1. 
x \equiv 3 (mod 5).
Решением данного сравнения является множество целых чисел, которые при делении на 5 дают остаток 3. Значит x=3+5k, k \in Z (здесь и далее Z – множество целых чисел).
Краткая запись решения сравнений такого типа приводится в следующем примере.

Пример 1.2. 
x \equiv2 (mod 7),
x=2+7k, k \in Z.

Далее рассматривается решение сравнений с постепенным повышением уровня сложности.

Пример 1.3. 
x \equiv7 (mod 4).
Упростим сравнение. Числа x и 7 при делении на 4 дают один и тот же остаток. Так как 7 при делении на 4 дает остаток 3, то
x \equiv3 (mod 4),
x=3+4k, k \in Z.
Следующее, чуть более сложное сравнение.

Пример 1.4. 
x \equiv25 (mod 4),
x \equiv4∙6+1(mod 4),
x \equiv1 (mod 4),
x=1+4k, k \in Z.

Заметим, если слагаемое в правой или левой части при делении на модуль m дает остаток 0, то его можно отбросить.

Пример 1.5.
7x \equiv 14 (mod 6),
6x+x \equiv12 (mod 6),
x \equiv2 (mod 6),
x=2+6k, k \in Z.
Далее рассматривается решение сравнений вида ax \equiv(mod m) для значений a≠1.
При решении сравнения
ax \equiv(mod m)
возможны следующие случаи.

  1. Если НОД(a, m)=1, то данное сравнение имеет одну серию решений x=x0+ mk, k \in Z.
  2. Если НОД(a, m)=d>1, то

2а) Если b делится на d, то сравнение не имеет решений.
2б) Если b не делится на d, то сравнение имеет d решений.
Пусть a = a1d, b = b1d, m = m1d, тогда
a1dx  \equiv b1d (mod m1d),
a1x  \equiv b1 (mod m1)
Если число x0 – одно из решений этого сравнения, то исходное сравнение имеет d серий решений:
x=x0+ mk, k  \in Z,
x=x0+ m1 +mk, k  \in Z,
x=x0+ 2m1 +mk, k  \in Z,
…,
x=x0+ (d-1)m1 +mk, k  \in Z.
Все d серий решений исходного сравнения можно записать одной формулой x=x0+ mk, k  \in Z.
Далее следует рассмотреть несколько примеров решений сравнений этого типа.

Пример 2.1.
5x  \equiv4 (mod 3),
3x+2x  \equiv3+1 (mod 3),
2x  \equiv1 (mod 3),
НОД(2,3)=1, сравнение имеет одну серию решений.
Подбором находим одно из решений: x0= 2.
Общее решение x=2+3k, k  \in Z.

Пример 2.2.
3x  \equiv2 (mod 5),
НОД(3,5)=1, сравнение имеет одну серию решений:
x0= 4,
x=4+5k, k  \in Z.

Пример 2.3.
2x  \equiv1 (mod 4),
НОД(2,4)=2, но правая часть 1 не делится на 2, значит, сравнение не имеет решений.

Пример 2.4.
4x  \equiv5 (mod 7),
НОД(4,7)=1, сравнение имеет одну серию решений:
x0= 3,
x=3+7k, k  \in Z.

Пример 2.5.
7x  \equiv2 (mod 5),
5x+2x  \equiv2 (mod 5),
2x  \equiv2 (mod 5),
НОД(2,5)=1, сравнение имеет одну серию решений:
x0= 1,
x=1+5k, k  \in Z.

Пример 2.6.
3x  \equiv2 (mod 6),
НОД(3,6)=3,но правая часть 2 не делится на 3, значит, сравнение не имеет решений.

Пример 2.7.
8x  \equiv20 (mod 12),
8x  \equiv12+8 (mod 12), a=8, b=8, m=12,
8x  \equiv8 (mod 12),
НОД(8,12)=4=d, d=4 делит правую часть 8, значит, исходное сравнение имеет 4 решения. Сокращаем на d=4:
2x  \equiv2 (mod 3), a1=2, b1=2, m1=3, подбором находим x0= 2.
Получаем четыре серии решений:
x=x0+ mk=1+12k, k  \in Z,
x=x0+ m1 +mk=1+3+12k=4+12k, k  \in Z,

x=x0+ 2m1 +mk=1+3∙2+12k=7+12k, k  \in Z,
x=x0+ 3m1 +mk=1+3∙3+12k=10+12k, k  \in Z.
Все четыре серии решений можно записать одной формулой – как решение сравнения 2x  \equiv2 (mod 3),
x0= 1,
x=x0+ m1k, k  \in Z,
x=1+3k, k  \in Z.

Пример 2.8.
72x  \equiv2 (mod 10),
70x+2x  \equiv2 (mod 10),
2x  \equiv2 (mod 10), a=2, b=52, m=10,
НОД(2,10)=2=d, правая часть 2 делится на d=2, значит, сравнение имеет две серии решений. Сокращаем на d=2:
x  \equiv1 (mod 5), a1=1, b1=1, m1=5,
подбором находим x0= 1.
Получаем две серии решений:
x=1+10k, k  \in Z,
x=6+10k, k  \in Z.
Обе серии решений можно записать одной формулой – как решение сравнения x  \equiv1 (mod 5) x=1+5k, k  \in Z.
Проведение занятий по разработанной методике приводит к гарантированному результату усвоения обучающимися технологии решения аналогичных задач. Соответствующие эксперименты были проведены при участии студентов направления бизнес-информатики. Увеличение доли обучающихся, правильно решивших 80% и более тестовых примеров являлось значимым, что проверялось с помощью критерия углового преобразования Фишера.

ЛИТЕРАТУРА:

  1. Бабаш А.В., Шанкин Г.П. Криптография. М.: Солон-Пресс, 2007. 512 с.
  2. Вейль А. Основы теории чисел. М.: Мир, 1972. 408 с.
  3. Жукова Г.С., Романова Е.Ю. Развитие профессионально-математической культуры специалистов экономического профиля в системе «вуз — повышение квалификации». Образование и саморазвитие, 2013, № 2 (36). с. 98-103.
  4. Романова Е.Ю. Формирование в вузе профессионально-математической культуры будущих специалистов в сфере бизнес-информатики: дис. канд. пед. наук. М., 2013. 186 с.

 

avatar
  Подписаться  
Уведомить о