О ФОРМИРОВАНИИ ПЕРЕЧНЯ, СОДЕРЖАНИЯ И ТРЕБОВАНИЙ К УРОВНЮ ЗНАНИЙ ВЫПУСКНИКОВ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ В ОБЛАСТИ МАТЕМАТИКИ

Аннотация: Проведен анализ программ школьного курса математики и выделены разделы математических дисциплин, требующих особого внимания при дальнейшей работе над совершенствованием их содержания и при преподавании в общеобразовательных школах в рамках базового математического образования. На основании опыта преподавания математических дисциплин на математическом, инженерных и естественно-научных направлениях подготовки специалистов в Сибирском федеральном университете предлагаются меры по повышению качества математической подготовки выпускников средних общеобразовательных школ.

Ключевые слова: математическое образование, содержание образования, общее среднее образование, высшее образование.

1. Введение

Ранее, в работах [1,2,3] были рассмотрены проблемы реализации Концепции развития математического образования в Российской Федерации, повышения качества математического образования выпускников средних общеобразовательных школ и совершенствования содержания школьного математического образования. Обсуждение этих вопросов на ряде конференций, посвященных вопросам преподавания математики и информатики в школах, в частности, в МПГУ и КГПУ им. В.П. Астафьева еще раз подтвердили необходимость более глубокого изучения стоящих проблем и выработки консолидированных предложений по их решению.

В [4] обсуждаются методологические подходы к оптимизации содержания школьного образования, не только математического, и предлагаются возможные шаги в этом направлении. В ней важное внимание уделено особенностям формирования заказа на содержание общего среднего образования. Здесь ситуация намного сложнее, чем в профессиональном образовании. По сути дела, у организаций общего среднего образования нет «прямых» заказчиков.

Общество, государство, социально-экономическая и научно-технологическая сферы, являясь источниками заказа, не способны сами его сформулировать содержательно (как это делается, например, в профессиональном образовании), поскольку одними из главных граничных условий при его формировании являются психологические и физиологические возрастные особенности развития детей и подростков, их способность усваивать и закреплять в навыках и умениях те или иные объемы и виды информации и знаний, эффективность темпов подачи информации, и, в конечном итоге, состояние психического и физического здоровья школьников.

Поэтому, существенно возрастает роль организаций и органов управления образованием, выполняющих функции по формированию заказа общества и государства на содержание общего среднего образования. Основными из них являются:

• Российская академия образования и Российская академия наук и их профильные научные организации, при этом, особая роль принадлежит РАО в педагогическом оформлении заказа, привязке его к педагогическим технологиям, позволяющим эффективно реализовать заказ; эти организации также должны четко определить границы и возможные объемы использования в образовании достижений современной науки, техники и технологий;
• система профессионального и высшего образования, как один из основных заказчиков на содержание и качество общего среднего образования и, в первую очередь, ведущие университеты, в том числе педагогического профиля – они являются главными посредниками в определении требований к общему среднему образованию, вытекающих из задач, решаемых предприятиями и организациями социально-экономической и научно-технологической сфер;
• органы управления образованием всех уровней, которые обеспечивают нормативное закрепление и сопровождение заказа и его финансирование в части государственного заказа.

Отсюда очевидным образом вытекает особая роль РАО в формировании заказа на содержание общего среднего образования и необходимость тесного взаимодействия РАО с Министерством просвещения Российской Федерации, РАН и ведущими российскими университетами в данной деятельности.

В связи с этим, отделение профессионального образования РАО инициировало привлечение учёных и педагогов Красноярского государственного педагогического университета им. В.П. Астафьева и Сибирского федерального университета к разработке подходов к формированию заказа высшей и профессиональной школы на модернизацию содержания школьного математического образования.

На первом этапе учёными и педагогами СФУ был проведён анализ содержания школьных программ по математике и подготовлены предложения для совместного рассмотрения со специалистами   КГПУ им. В.П. Астафьева возможностей внесения необходимых изменений в программы, организации и проведения соответствующих педагогических экспериментов.

Данные предложения, главным образом, касаются базового математического образования и направлены на совершенствование обучения математике в общих (не математических и не специализированных) классах общеобразовательных средних школ.

Вопросы, связанные с преподаванием элементов высшей математики в базовой части школьного математического образования, требуют дополнительного изучения как с точки зрения возможности эффективного освоения школьниками этих разделов математики, формирования необходимых умений и навыков, так и использования их при преподавании других школьных предметов, в первую очередь физики. В настоящей статье основное внимание уделено вопросам преподавания элементарной математики.

Работа в этом направлении будет продолжена, но уже сейчас можно констатировать перегруженность базовой части школьной программы математики элементами высшей математики, слабым освоением большинством школьников этих разделов математики, практическим отсутствием навыков и умений при решении задач из этих областей математики. При этом, основные математические понятия либо даются в слишком упрощенной форме, что приводит к превращению школьников в дилетантов, либо излагаются на слишком высоком абстрактном уровне, который для большинства школьников практически недоступен. 

Авторы глубоко благодарны директору Института математики и фундаментальной информатики Сибирского федерального университета, профессору, д.ф.-м.н. А.М. Кытманову, заведующему кафедрой теории функций Института математики и фундаментальной информатики Сибирского федерального университета, профессору, д.ф.-м.н. А.К. Циху и профессору кафедры теории функций Института математики и фундаментальной информатики Сибирского федерального университета, д.ф.-м.н. Е.К. Лейнартасу за участие в подготовке данной статьи и предложения по совершенствованию школьного математического образования.  

2. Результаты анализа основных разделов школьных программ по математике

В этом параграфе мы приведём краткие комментарии и предложения по совершенствованию содержания и изучения основных разделов школьного математического курса. В тексте статьи отмечаются только те разделы математики, на которые необходимо обратить особое внимание при дальнейшей работе над содержанием разделов математики, преподаваемых в общеобразовательных школах в рамках базового математического образования.  

Действительные числа и действия над ними

В результате изучения этого раздела школьник должен иметь общее целостное представление об устройстве системы действительных чисел, уметь правильно выполнять все операции над действительными числами (в том числе с обыкновенными и десятичными дробями). Следует научить хорошо (не формально) понимать определение абсолютной величины числа.

Натуральные, целые, рациональные числа, первое знакомство с действительными числами. Положительные и отрицательные числа. Обозначения. Геометрическая интерпретация системы действительных чисел. Сравнения двух чисел.  Обыкновенные и десятичные дроби. Числовые подмножества: интервал, полуинтервал, отрезок. Объединение, пересечение, обозначение содержания элементы и вложения одного подмножества в другое. Арифметические операции над действительными числами, свойства операций, деление целого числа на целое с остатком. Разложение целого числа в произведение целых степеней простых множителей, наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух и нескольких целых чисел. Абсолютная величина (модуль) числа. Степень с целым показателем (положительным и отрицательным). Последовательность выполнения арифметических операций, выставление скобок.

Многочлены и алгебраические дроби

В этом разделе не следует уделять внимание глубокому изучению теории многочленов. Важно, чтобы школьники хорошо умели работать с многочленами маленьких степеней: степени два, три и может быть четыре.

Предварительные понятия. Одночлен и многочлен, коэффициенты, степень многочлена.  Свойства многочленов. Приведение подобных членов.

Арифметические операции над многочленами. Сложение многочленов, вычитание многочленов.

Алгебраическое умножение. Умножение многочленов.    

Алгебраическое деление. Деление многочлена на одночлен. Деление многочлена на многочлен, невозможность деления любого многочлена на любой многочлен. Деление многочлена на многочлен с остатком.

Корни многочленов. Разложение на множители. Определение корня многочлена. Разложение многочленов степени 2 и 3 на линейные множители.

Алгебраические выражения, в частности, алгебраические дроби. Отличие алгебраических выражений и дробей от арифметических.  Квадрат и куб суммы и разности двух слагаемых. Основное свойство дроби.  Приведение членов дроби к целому виду.    Перемена знаков у членов дроби.  Сокращение дробей. Приведение дробей к общему знаменателю. Сложение и вычитание дробей.  Умножение дробей. Квадрат и куб дроби.  Деление дробей.

Уравнения первой степени

Здесь очень важно, чтобы школьники хорошо различали понятия уравнения и тождества. Необходимо глубокое понимание определения решения (корня) уравнения и понятия решения (здесь слово решение как подлежащее) системы уравнений. При решении уравнений и систем (при проведении преобразований) научить следить за равносильностью получающихся на каждом этапе уравнений и систем.

Общие свойства уравнений. Равенства и их свойства. Тождество.  Уравнение.  Равносильные уравнения. Свойства уравнений.  Следствия. Умножение или деление частей уравнения на одно и то же алгебраическое выражение.  Посторонние корни.

Уравнения с одним неизвестным. Решение уравнений первой степени с одним неизвестным.  Понятие о составлении уравнений.  Буквенные уравнения.

Системы уравнений первой степени. Система двух уравнений с двумя неизвестными. Определение решения системы двух уравнений с двумя неизвестными. Совместность системы двух уравнений с двумя неизвестными. Равносильные системы. Некоторые способы решения систем уравнений с двумя неизвестными: способ подстановки, способ алгебраического сложения. Система уравнений   с буквенными коэффициентами.

Система трёх уравнений с тремя неизвестными. Определение решения системы трёх уравнений с тремя неизвестными. Совместность системы трёх уравнений с тремя неизвестными. Равносильные системы. Некоторые способы решения систем уравнений с тремя неизвестными: способ подстановки, способ алгебраического сложения. Система уравнений   с буквенными коэффициентами.

Извлечение квадратного корня

Основные свойства корней. Определение корня.  Арифметический корень.   Алгебраический корень.   Извлечение корня из произведения, из степени и из дроби. Некоторые приёмы извлечения квадратного корня из чисел. Извлечение корня из обыкновенных дробей. Извлечение приближённых квадратных корней.  

Квадратное уравнение

Квадратные уравнения должны хорошо решать все выпускники школ. Общий вид квадратного уравнения. Решение неполных квадратных уравнений. Примеры решения полных квадратных уравнений. Формула корней приведённого квадратного уравнения.   Общая формула корней квадратного уравнения. Число действительных корней квадратного уравнения.

Тождественные преобразования со степенями и корнями

Умение проводить операции со степенями, с целыми и дробными показателями степеней. Важно, чтобы после изучения иррациональных чисел у школьника появилось понимание, что иррациональные числа являются подмножеством множества действительных чисел.

Возведение в степень. Действие возведения в степень. Степень отрицательного числа. Возведение в степень одночленов. Возведение в квадрат многочлена.

Понятие об иррациональных числах. Соизмеримые и несоизмеримые отрезки. Понятие об измерении. Иррациональные числа и их приближённые значения. Равенство и неравенство между иррациональными числами. Вещественные числа.  Определение действий над иррациональными числами.  Извлечение корня.

Преобразование иррациональных выражений. Рациональные и иррациональные алгебраические выражения. Основное свойство радикала. Извлечение арифметического корня из произведения, из степени и из дроби. Простейшие преобразования радикалов. Подобные радикалы. Действия над иррациональными одночленами. Действия над иррациональными многочленами.  Освобождение знаменателя дроби от радикалов.

Иррациональные уравнения. Посторонние решения. Освобождение уравнения от двух квадратных радикалов.

Функции и их графики

Здесь, прежде всего надо добиться понимания школьниками того, что функция – это однозначное отображение одного множества на (или в) другое. Хорошо научить понимать, что такое «система координат» и «декартова система координат». Научить не отождествлять понятия «функция» и «её график».

Функциональная зависимость. Постоянные и переменные величины. Аргумент и функция. Область определения и область значений функции. Некоторые способы выражения функциональной зависимости. Метод координат. Определение положения точки на плоскости. График функции в декартовой системе координат. Чётные и нечётные функции, области возрастания и убывания, монотонность, ограниченные и неограниченные, наибольшее и наименьшее значения, графики функций.

Прямая и обратная пропорциональность. Прямая пропорциональная зависимость.  Общее определение пропорциональной зависимости. Обратная пропорциональная зависимость. Общее определение обратной пропорциональной зависимости. График прямой пропорциональной зависимости. Изменение положения прямой при изменении коэффициента пропорциональности.  График обратной пропорциональности.
Линейная функция. Двучлен первой степени.  График двучлена первой степени.  Изменение двучлена у = кх + b с изменением х. исследование поведения линейной функции.  Построение прямой у = кх + b по двум точкам.

Квадратичная функция

Все выпускники школ должны уметь строить график квадратичной функции и читать его. Если решается система двух уравнений графически, то школьник должен усвоить, что решением системы будут не точки пересечения графиков, а абсциссы этих точек.

Дополнительные сведения о квадратных уравнениях. Формула корней квадратного уравнения. Дискриминант.  Свойства корней квадратного уравнения (теорема Виета).  Трёхчлен второй степени. Разложение трёхчлена второй степени.

График квадратичной функции. Исследование поведения квадратичной функции.  График функции у = х². График функции у = ах². График функции у = ах² + bx + c.  График трёхчлена второй степени. Графический способ решения квадратного уравнения. Биквадратное уравнение. Уравнения, левая часть которых разлагается на множители, а правая есть нуль. Двучленное уравнение.  Решение двучленных уравнений третьей степени. Различные значения корня. Трёхчленное уравнение.

Системы уравнений второй степени. Степень уравнения с несколькими неизвестными. Общий вид полного уравнения второй степени с двумя неизвестными. Системы двух уравнений, из которых одно первой степени, а другое – второй. Система двух уравнений, из которых каждое уравнение второй степени. Графический способ решения систем уравнений второй степени.

Неравенства

Необходимо научить выполнять действия с неравенствами. При решении неравенств необходимо глубокое понимание (как подлежащего) «решения неравенства или системы неравенств». При решении квадратных неравенств не следует увлекаться методом интервалов, поскольку в обосновании этого метода лежит сложная (для школьников) теорема о непрерывных функциях. Квадратные неравенства надо решать не формально, а с использованием графика квадратичной функции.

Неравенства первой и второй степени. Основные свойства неравенств. Равносильные неравенства Доказательство неравенства. Решение неравенства первой степени с одним неизвестным. Геометрическая интерпретация. Система неравенств первой степени с одним неизвестным. Квадратные неравенства. Решение квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции. Решение рациональных неравенств от одного неизвестного. Метод интервалов (без доказательства). Решение систем неравенств первой и второй степени. Интерпретация решения на числовой оси.

Тригонометрия

В целом, изучению тригонометрии надо уделить достаточно много времени и внимания ввиду важности этого раздела и для математики, и для многих приложений.

Тригонометрические функции. Углы и дуги, их измерения. Тригонометрические функции угла. Чётность и нечётность тригонометрических функций. Нахождение угла по данному значению его тригонометрической функции. Соотношения между тригонометрическими функциями, тригонометрические тождества.

Аппарат тригонометрии. Теоремы сложения и их обобщения. Формулы приведения. Тригонометрические функции кратных и половинных углов. Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.

Исследование тригонометрических функций числового аргумента. Области определения и множества значений тригонометрических функций. Периодичность тригонометрических функций. Интервалы знакопостоянства, промежутки монотонности, наибольшие и наименьшие значения, непрерывность тригонометрических функций. Графики тригонометрических функций. Простейшие тригонометрические неравенства.

Обратные тригонометрические функции. Аркфункции. Тригонометрические операции над аркфункциями. Соотношения между аркфункциями. Выполнение обратных тригонометрических операций над тригонометрическими функциями. Формулы сложения. Исследование поведения аркфункций, графики, связь с графиками соответствующих прямых тригонометрических функций.

Тригонометрические уравнения и неравенства. Тригонометрические уравнения (неравенства). Простейшие тригонометрические уравнения (неравенства).  Решение уравнений (неравенств) посредством подстановок, приводящим к алгебраическим уравнениям. Различные частные приемы решений тригонометрических уравнений (неравенств). Уравнения (неравенства), содержащие неизвестные под знаками аркфункции. Общее решение тригонометрического уравнения (неравенства) и способы нахождение частных решений. Графический способ решения тригонометрических уравнений (неравенств). Соотношения между различными элементами треугольника. Теорема синусов и теорема косинусов. 

Прогрессии

Здесь надо усвоить определения двух прогрессий и знать основные формулы.

Арифметическая прогрессия. Определение. Формула любого члена арифметической прогрессии. Формула суммы членов арифметической прогрессии. Формула суммы квадратов чисел натурального ряда.

Геометрическая прогрессия. Определение. Сравнение геометрической прогрессии с арифметической прогрессией. Формула любого члена геометрической прогрессии. Формула суммы членов геометрической прогрессии.

Бесконечные прогрессии. Некоторые свойства бесконечных прогрессий. Первое понятие о пределе. Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Применение геометрической прогрессии к десятичным периодическим дробям.

Обобщение понятия о показателях

Целые показатели. Свойства целых положительных показателей. Нулевой показатель. Отрицательные целые показатели.  Действия над степенями с отрицательными показателями.

Дробные показатели. Основное свойство дробного показателя.  Действия над степенями с дробными показателями.

Понятие об иррациональном показателе. Смысл степени с иррациональным показателем.

Показательная функция. Школьники должны уметь строить (не по точкам) график показательной функции и читать его.

Определение. Свойства показательной функции. Исследование поведения показательной функции. График показательной функции.

Логарифмы

Надо, чтобы школьник знал (и понимал) основные формулы для преобразования логарифмических выражений, умел ими пользоваться при решении уравнений и неравенств. При решении неравенств понимал, когда можно сравнивать два логарифмических выражения и умел это делать. Школьники должны уметь строить (не по точкам) график логарифмической функции и читать его.

Общие свойства логарифмов. Два действия, обратных возведению в степень. Определение.  Логарифмическая функция и её график.  Основные свойства логарифмов. Логарифмы произведения, частного, степени и корня.  Логарифмирование алгебраического выражения. Десятичные логарифмы.

Показательные и логарифмические уравнения и неравенства.

Примеры уравнений и неравенств. Основные способы решения логарифмических уравнений и неравенств.

Логарифмическая функция. Определение. Свойства логарифмической функции. Исследование поведения логарифмической функции. График логарифмической функции, связь с графиком соответствующей показательной функции.

Исследование уравнений

Исследование уравнений первой степени с одним неизвестным. Что значит исследовать уравнение. Положительные, отрицательные, нулевые решения. Случай, когда уравнение не имеет корня.  Неограниченный рост или уменьшение корня.  Графическое истолкование решения уравнения ах =b.

Исследование системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Исследование общей формулы решения системы двух уравнений с двумя неизвестными (полученной в разделе «Системы уравнений первой степени») при изменении коэффициентов системы. Графическая иллюстрация исследования.

Исследование квадратного уравнения. Исследование формул решения квадратного уравнения при изменении коэффициентов уравнения. Графическая иллюстрация исследований.

Комплексные числа

Немало дискуссий вызывает вопрос о включении этого раздела в школьный курс. Аргумент за включение – возможность полного решения квадратных уравнений с действительными коэффициентами и определения числа корней любого многочлена. Аргумент против включения – данный раздел подробно изучается в высшей школе.

На наш взгляд его нужно исключить из базового курса, оставив в профильных (специализированных) классах.

При его изучении важно рассмотреть следующие темы. Комплексные числа в алгебраической форме записи. Арифметические действия над комплексными числами. Изображение комплексного числа в декартовой системе координат. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Действия с комплексными числами, записанными в тригонометрической форме. Полное решение квадратного уравнений с действительными коэффициентами.

Некоторые сведения об алгебраических уравнениях

Здесь нужны только общие неглубокие сведения. Общий вид алгебраического уравнения. Основные теоремы о корнях алгебраического уравнения.

Неопределённые уравнения

Здесь нужны только общие неглубокие сведения. Понятие неопределенного уравнения или системы уравнений. Общее представление о решении неопределённых уравнений и систем.

Дополнение 1

Графики функций, в задании которых имеются выражения под знаком модуля. Умение строить графики таких функций «для всех элементарных функций».

Уравнения и неравенства, содержащие выражения под знаком модуля. Ознакомление с основными приёмами решения таких уравнений и неравенств.

Дополнение 2

Раздел математического анализа целесообразно исключить из базового курса, оставив его в профильных (специализированных) классах.

Если в этом вопросе не удастся достичь компромисса (например, из-за невозможности исключения понятия производной из курса физики), то объем и содержание данного раздела должны быть минимальными. Необходимо при этом дать неабстрактное (и в то же время достаточно строгое) определение предела числовой последовательности и предела функции в точке.

Числовые последовательности. Предел числовой последовательности (конечный и бесконечный). Свойства пределов числовых последовательностей.

Предел функции в точке. Определение. Свойства пределов функции в точке.

Производная функции в точке. Определение. Свойства производной функции в точке. Таблица производных. 

Геометрия

В каждой части этого раздела достаточно подробно описаны требования к знаниям выпускников школ.

 Векторная алгебра

Векторы на плоскости и в пространстве. Определение вектора (как направленного отрезка). Равные, параллельные, пропорциональные, компланарные векторы. Угол между вектором и прямой, между вектором и плоскостью, между векторами. Проекция вектора на ось, проекция вектора на прямую, на плоскость, проекция вектора на вектор.

Операции над векторами. Сложение, вычитание (правило параллелограмма, правило треугольника), умножение вектора на число. Операции над векторами в координатной форме.

Скалярное произведение векторов. Определение скалярного произведения. Вычисление длины вектора и угла между векторами с помощью скалярного произведения.  Критерий ортогональности (перпендикулярности двух векторов).

Планиметрия

Прямая линия, углы. Основные понятия. Измерение углов. Понятие об уравнении некоторой конфигурации точек на плоскости.  Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом. Параллельные и взаимно перпендикулярные прямые на плоскости. Смежные и вертикальные углы.

Треугольники. Понятие о многоугольнике и треугольнике. Симметрия геометрических фигур относительно оси. Некоторые свойства равнобедренного треугольника. Признаки равенства треугольников. Внешний угол треугольника и его свойство. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Средняя линия треугольника. Высоты, медианы, биссектрисы треугольника. Сравнительная длина прямолинейного отрезка и ломаной линии. Сравнительная длина перпендикуляра и наклонных. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Свойство перпендикуляра, проведенного к отрезку прямой через его середину, и свойство биссектрисы угла.

Критерии параллельности и перпендикулярности двух прямых. Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами. Сумма углов треугольника и многоугольника. Центральная симметрия.

Параллелограммы и трапеции. Параллелограммы. Некоторые частные виды параллелограммов: прямоугольник, ромб, квадрат. Основные свойства параллелограммов. Трапеции, высота и средняя линия трапеции.

Окружность. Форма и положение окружности, уравнение окружности в декартовой системе координат. Зависимость между дугами, хордами и расстояниями хорд от центра. Взаимное расположение прямой и окружности. Взаимное расположение двух окружностей. Вписанные, центральные и некоторые другие углы, соответствующие теоремы. Касательная к окружности, свойства, построение касательной. Уравнений окружности в прямоугольной декартовой системе координат.

Вписанные и описанные многоугольники. Теоремы существования вписанной и описанной окружностей для любого треугольника. Свойства вписанного выпуклого четырехугольника. 1. В выпуклом, вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180^о. 2. Обратно, если в выпуклом четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180^о, то около него можно описать окружность. Четыре замечательные точки в треугольнике.

Подобные фигуры. Соизмеримые и несоизмеримые отрезки. Три признака подобия треугольников. Коэффициент подобия. Признаки подобия прямоугольных треугольников. Подобие многоугольников. Понятие о подобии фигур произвольного вида.

Некоторые теоремы о пропорциональных отрезках. Расположенных на сторонах угла, пересекаемым несколькими параллельными прямыми и расположенных на двух параллельных прямых, пересекаемыми несколькими прямыми, проходящими через одну точку. Свойство биссектрисы угла треугольника.

Метрические соотношения между элементами треугольника и некоторых других фигур. Свойство перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу прямоугольного треугольника. Теорема Пифагора. Теорема о квадрате стороны, лежащей против острого угла треугольника. Теорема о квадрате стороны, лежащей против тупого угла в треугольнике. Теорема о сумме квадратов диагоналей параллелограмма. Вычисление высот треугольника по его сторонам.

Пропорциональные линии в круге. Теорема о хорде и диаметре, проведенными через одну внутреннюю точку окружности. Теорема о секущей и касательной, проведённых из одной внешней точки окружности.

Правильные многоугольники и вычисление длины окружности. Основные определения. Теорема о построении правильных многоугольников с помощью окружностей. Правильный многоугольник и вписанные и описанные окружности. Правильные одноимённые подобные многоугольники. Построения циркулем и линейкой. Вычисление длины окружности (здесь потребуется знание определения предела бесконечной числовой последовательности). Формулы длины окружности. Отношение длины окружности к её диаметру. Число пи. Длина дуги. 

Измерение площадей. Площади многоугольников. Понятие об измерении площади. Площадь прямоугольника. Площадь параллелограмма. Площадь треугольника. Площадь ромба. Площадь трапеции. Площадь описанного многоугольника. Равновеликие фигуры.

Геометрическое прочтение теоремы Пифагора. Отношение площадей подобных фигур. Площадь круга и его частей. 

Стереометрия

Прямые и плоскости. Основные свойства плоскости. Вращение плоскости вокруг прямой. Параллельные прямые. Признаки параллельности. Прямая и плоскость, параллельные между собой. Признаки параллельности. Параллельные плоскости. Признаки параллельности.

Перпендикуляр и наклонные к плоскости. Признаки перпендикулярности прямой и плоскости. Зависимость между параллельностью и перпендикулярностью прямых и плоскостей.

Двугранные углы, угол между прямой и плоскостью, угол двух скрещивающихся прямых, многогранные углы. Двугранные углы. Перпендикулярные плоскости. Угол двух скрещивающихся прямых. Угол, образуемый прямой с плоскостью. Многогранные углы.

Ортогональные проекции точки, отрезка и фигуры. Ортогональные проекции точки, отрезка, треугольника, многоугольника.

Многогранники:

Параллелепипед и пирамида. Свойства граней и диагоналей параллелепипеда. Свойства параллельных сечений в пирамиде. Боковая поверхность призмы и пирамиды.

Объём призмы и пирамиды. Объем параллелепипеда. Объем призмы. Объем пирамиды.

Подобие многогранников.

Правильные многогранники.

Круглые тела. Цилиндр и конус. Поверхность цилиндра и конуса. Объем цилиндра и конуса. Подобные цилиндры и конусы.

Шар и сфера. Сечение шара плоскостью. Плоскость, касательная к шару. Поверхность шара и его частей. Объем шара и его частей. Уравнение сферы в прямоугольной декартовой системе координат.

3. Заключение

Трудно выделить разделы математики, входящие в школьную программу, которые не «знает» «среднестатистический» современный выпускник средней школы. Но значительную часть материала многие школьники «знают» формально, без глубокого понимания. Как уже отмечалось в ряде исследований, такое положение во многом вызвано перегруженностью школьной программы на фоне существенного сокращения в последние годы объема времени, выделяемого на изучение математики, особенно её базовой составляющей.

Поскольку не представляется реальным увеличение времени, выделяемого на изучение математики в «массовой» школе, необходимо искать резервы повышения качества математической подготовки школьников в совершенствовании содержания математического образования, а также соответствующих технологий и методик преподавания.

Мы надеемся привлечь дополнительное внимание наших коллег из высшей школы и учителей математики к этим проблемам. В данной статье сформулированы общие походы и возможные пути решения стоящих проблем.  Нужны глубокие коллективные методологические и методические исследования вопросов совершенствования содержания школьного математического образования, выработка предложений по его оптимизации и проведению соответствующих педагогических экспериментов и апробации этих предложений.

На это потребуется немало времени, а ситуация с качеством математической подготовки выпускников общеобразовательных школ требует ускорения принятия и реализации консолидированных коллективных решений.

1. Дураков Б.К., Подуфалов Н.Д. Математическое образование в контексте методологических проблем развития российской системы образования // Педагогика. 2018. № 7. С.3-12.
2. Подуфалов Н.Д. О проблемах реализации концепции развития математического образования. Информационные технологии в математике и математическом образовании: материалы VII Всероссийской научно-методической конференции с международным участием. Красноярск, 14-15 ноября 2018 г. / В.Р. Майер (отв. ред.); ред. кол.; Краснояр. гос. пед. ун-т им. Астафьева. – Красноярск. 2018. 9 С.
3. Подуфалов Н.Д. К вопросу о развитии методологии педагогики школьного математического образования // Педагогика. 2019. № 5.
4. Подуфалов Н.Д. О некоторых методологических проблемах развития системы образования // Педагогика. 2019. В печати.