ИЗУЧЕНИЕ ЦЕЛЫХ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ПЕРВЫМ ПОДХОДОМ В ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ФАКУЛЬТЕТАХ БОЛГАРИИ

By | 21.04.2019
Статья опубликована в рамках: Международной научно-практической интернет-конференции «Актуальные проблемы методики обучения информатике и математике в современной школе» (Россия, г.Москва, МПГУ, 22 — 26 апреля 2019г.)

ИЗУЧЕНИЕ ЦЕЛЫХ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ПЕРВЫМ ПОДХОДОМ В ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ФАКУЛЬТЕТАХ БОЛГАРИИ

Маринова Виолета Маринова,
кандидат педагогических наук, профессор,
Великотърновский университет,
Болгария, г. Велико Търново,
Старирадева Йоанна Мирославова,
кандидат педагогических наук, учительница школы,

Болгария, г. Велико Търново,

Аннотация. В докладе рассматривается множество целых неотрицательных чисел и его изучение первым подходом в педагогических факультетах Болгарии.

Ключевые слова: множество целых неотрицательных чисел, изучение, первый подход,  педагогические факультеты, Болгария.

Понятие натурального числа является одним из основных понятий математики и лежит в основе большинства  математических моделей реального мира. Отправляясь от натурального числа можно построить последовательно понятия целого, рационального, действительного и комплексного чисел [3,4].

Ввиду фундаментальной важности понятия натурального числа, как для самой математики, так и для методики, раздел “Натуральные числа” студенты – будущие учителя начальных классов должны усвоить детально и полностью.

В нашем исследовании мы обосновываем эффективность следующего подхода к изучению числовых систем:

I) изучать их как отдельный раздел, придерживаясь требований программы,
II) при изложении этого материала опираться на множество натуральных чисел как на базу для расширения понятия числа.

Этот подход оказался возможным при следющих условиях:

  1. В начале темы необходимо аксиоматическим методом изложить теорию натуральных чисел. Основная цель такого подхода заключается в том, чтобы студенты поняли каким путем можно построит всю арифметику натуральных чисел.
  2. На втором этапе необходимо изложить теоретико-множественную теорию натуральных чисел, причем материал изложить подробно с экскурсами в методику и начальный курс математики.
  3. Системы счисления излагать с методической направленностью гораздо подробнее и шире.
  4. После того, как студенты познакомятся с множеством целых чисел, приступить к изучению теории делимости на множество целых, а не натуральных чисел.

Приведем краткий обзор одного из возможных вариантов плана реализации изложения множества целых неотрицательных чисел по предполагаемой нами схеме. Отметим, что целый ряд частных методических вопросов мы решаем, исходя из собственного опыта преподавания и особенностей контингента студентов. К этим вопросом относятся: отбор предложений, которые доказываются при изложении материала на лекции, предложений, принимаемых без доказательств; определение содержания доказательств; формулировки аксиом, теорем, свойств и т.д. Естественно, что в других условиях преподавания они могут быть решены иначе, без существенного влияния на реализацию центральной идеи данного исследования.

Аксиоматический подход к понятию целого неотрицательного числа.

Излагая эту тему студентам педагогического факультета особенно важно подчеркнуть, что аксиоматическая теория дает математическую модель действительности. Здесь получается не непосредственное отражение реального мира, а абстрагированное, идеализированное отражение. Выводы, получаемые в такой теории лишь приближенно отражают свойства реального мира, причем эти соответствия тем точнее, чем лучше сама система аксиом описывает существенные свойства действительности. Это определяет и роль критерия практики для аксиоматической теории.

  1. В начале надо дать студентам схему построения содержательной (неформальной ) аксиоматической теории: показать, что берется какая-нибудь структура, которая характеризуется положениями-аксиомами, т. е.
  • на первом шаге составляется перечень исходных понятий или терминов данной теории;
  • на втором шаге составляется перечень предложений-аксиом данной теории.

Все остальные понятия определяются и все остальные предложения данной теории – теоремы логически выводятся из них, т. е. доказываются.

  1. Экспериментально установлено, что студенты педагогического факультета сущность аксиом Пеано лучше усваивают при следующей форме изложения:
  • когда отдельно указываются основные понятия «натуральное число», «единица», бинарное отношение s: «непосредственно следует за»;
  • формулируются аксиомы устанавливающие взаимную связь между данными терминами для множества N, т.е. для нерасширенного нулем натурального ряда – для структуры (N, 1, s) ;
  • понятие целого неотрицательного числа дается в конце темы, как дополнение структуры (N, 1, s)  до структуры (N, 0, s). [4,5,6]

Аксиомы Пеано можно сформулировать так:
1’) Натуральное число 1 не следует ни за каким натуральным числом, т.е.  \overline{\exists }x \mid x'=1 .
2’) Для любого натурального числа существует одно и только одно непосредственно следующее за ним натуральное число, т.е. \forall x,\exists !y \mid y=x'.
3’) Любое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом, т.е. \forall x,y,z \mid z=x' \wedge z=y' \Rightarrow x=y.
4’) (Аксиома индукции) Подмножество M множества N, которое содержит элемент 1 и вместе с любым элементом x  всегда содержит и непосредственно следующим за ним элемент x’, совпадает со всем множеством N, т.е.1\in M \wedge (\forall x \in M \Rightarrow x'\in M)\Rightarrow M=N.

После того, как студенты познакомятся с аксиомами Пеано, целесообразно познакомить их со свойствами аксиоматической теории вообще.

Можно ввести им понятие модель (интерпретации) системы аксиом, возможно и понятие изоморфизма.

Определение 1.1. Множество с заданными в нем отношениями, в котором выполняются все аксиомы данной систем, называется моделью (интерпретацией).

Определение 1.2. Взаимно однозначное соответствие между элементами двух множеств, сохраняющее определенные в этих множествах соотношения называется изоморфизмом.

После этого целесообразно добавить, что по данной системе аксиом Пеано можно выбрать или построить различные множества, удовлетворяющие структуре

(N, 1, s) и аксиомам 1’) – 4’). Но все эти модели будут изоморфны между собой.

Нами были предложены следующие модели.
Пример 1. Структуру (N, 1, s) задаем так:
N — a, a3, a9,…(множество членов последовательности).
1 — a
s – «является кубом»

1’) аксиома. «a  не является кубом никакого члена последовательно».
2’) аксиома, и т. д.

Пример 2. Структуру (N, 1, s) задаем так:
N – (множество отрезков)

A1                                                                           B1
A2                                                       B2
A3                                             B3


1 – отрезок [A1,B1] s – «половина отрезка»

1’) аксиома. «Отрезок [A1,B1] не является половиной никакого отрезка».
2’) аксиома, и т. д.

Необходимо также познакомить студентов с основными требованиями, предъявляемыми к каждой системе аксиом: непротиворечивость, независимость и категоричность, но без строгого изложения.

После всего этого формулируются следующие теоремы, доказательство которых хорошо иллюстрирует первое использование аксиом Пеано.

Теорема 1.1. Если два натуральных числа различны, то и следующие за ними числа различны, т.е. из  x\neq y\Rightarrow x'\neq y'.

Теорема 1.2. Если  натуральные числа, следующие за данными различны, то и данные числа различны, т. е. из  x'\neq y'\Rightarrow x\neq y.

Теорема 1.3. Любое натуральное число отлично от непосредственно следующего за ним числа, т. е. &nbsp  x\neq x' .

Метод математической индукции дается студентам только с целью проиллюстрировать как на базе 4’) аксиомы основывается метод доказательства, называемый методом (принципом) математической индукции. Для знакомства с этим достаточно дать только одну форму принципа математической индукции в словесной формулировке и схему ее доказательства.

Теорема 1.4. «Если некоторое предложение Т верно для 1 и из того, что оно верно для произвольного натурального числа m, следует что оно верно для m’, непосредственно следующего за m, то предложение Т верно для всех натуральных чисел», т.е.  T(1)\wedge \forall m \mid T(m) \Rightarrow T(m')\Rightarrow \forall n, T(n).

Весьма важно проиллюстрировать этот метод одним-двумя примерами.

Операции на множестве натуральных чисел мы предлагаем вводить так.

Имея ввиду, что аксиомы Пеано сформулированы для натуральных чисел без использования числа 0, аксиоматические определения сложения и умножения формулируются как характеристика структуры (N, 1, s, +, .).

Определение 1.3. Сложением натуральных чисел называется бинарная алгебраическая операция, сопоставляющая с каждой парой (a,b), где  (a,b) \in N \times N = N^2 натуральное число a+b, обладающее следующими свойствами:

1)  \forall a, a+1=a' ,
2)  \forall  a,b, a+b' = (a+b)' .

Числа a и b называются слагаемыми, а число a+b — суммой.

Теорема 1.5. Сложение натуральных чисел всегда выполнимо и однозначно.

Здесь достаточно объяснить сущность теоремы о том, что сумма всегда существует в множестве N и единственна. Доказательство теоремы может быть опущено.

Теорема 1.6. Имеют место следующие свойства сложения:
1)  \forall a, b: a+b=b+a ,
2)  \forall  a,b, c: (a+b)+c=a+(b+c).

Доказательство: Пусть T(c) обозначает равенство (a+b)+c=a+(b+c).

1) Докажем, что Т(1) истинно (a+b)+1=(a+b)’=a+b’=a+(b+1). И так (a+b)+1=a+(b+1), т. е. для  c=1 равенство верно.
2) Докажем, что  T(c)\Rightarrow T(c')  истинно.
Предполагая истинность равенства  (a+b)+c=a+(b+c) докажем, что оно истинно и для c’.

(a+b)+c’=[(a+b)+c]’=   (по определению)
                =[a+(b+c)]’=   (по определению)
                 = a+(b+c)’ =   (по определению)
                 = a+(b+c’)      (по определению)

И так (a+b)+c’=a+(b+c’), т. е. T(c’) истинно.

Заключение: Теорема верна для любого c. Так как a и b  выбраны произвольно, то она верна для любых a,b,c.

Теорема 1.7.  \forall a,b: a+b \neq a

Определение 1.4. Умножением натуральных чисел называется бинарная алгебраическая операция, ставящая в соответствие каждой паре (a,b), где  (a,b) \in N \times N = N^2 натуральное число ab, обладающее следующими свойствами:

1)    \forall a, a1=a .
2)   \forall a, b, ab'=ab+a .

Числа a и b называются сомножителями, а число ab — произведением.

Теорема 1.8. Умножение натуральных чисел всегда выполнимо и однозначно.

Объяснить, но не доказывать.
Теорема 1.9. Операция умножения обладает следующими свойствами:
1)    \forall a,b : ab=ba .
2)   \forall a,b,c : (a+b)c=ac+bc .
3)   \forall a,b,c : (ab)c=a(bc) .

В зависимости от резерва времени, подробное доказательство можно дать лишь для части свойств операции, как этого требует программа, а остальные свойства студенты могут доказать самостоятельно.

Далее необходимо рассмотреть свойства множества натуральных чисел.

Отношение порядка на множестве натуральных чисел дается в минимальном объеме, так как об этом еще надо будет говорить в количественной теории натуральных чисел.

Со свойствами структуры порядка (N, <) надо только познакомить, и в такой форме, чтобы студенты поняли сущность и содержание вопроса не вникая в длинные и сложные формальные доказательства.

Определение 1.5. Натуральное число  a меньше числа  b  (a<b) тогда и только тогда, когда существует число k, такое что 2)   a+k=b, a<b  \Leftrightarrow \exists k : a+k =b .

Если a меньше числа b (a<b), то можно сказать, что b больше числа a (b>a).

Можно добавить, что
a<b \vee a=b \Leftrightarrow a\leqslant b  
a>b \vee a=b \Leftrightarrow a\geqslant b

Теорема 1.10.  \forall a : a<a'.
Это следует из того, что  a+1=a’

Здесь необходимо остановиться на следствиях:

Следствие 1:  Получаем ряд:  1          2        3        4        …,
Следствие 2: 1 – наименьшее число в N,
Следствие 3: В множестве N нет наибольшего числа.

Теорема 1.11.  \forall a,b либо a=b, либо a<b, либо b>a.

Теорема 1.12.   \forall a,b,c : a<b \wedge b<c \Rightarrow a<c .

Этим мы показываем, что множество N упорядоченно отношениями “меньше” или “больше”.

Надо особо подчеркнуть важность следующей теоремы.

Теорема 1.13.    \forall a, \exists b : a<b  \wedge  \exists c \mid a<c \wedge  c<b.

Это означает, что для каждого  a \in N существует в множестве N «соседнее» число b такое, что a<b и нет другого числа c, которое было бы больше a,  но меньше b. Этим устанавливаем, что структура (N, <) обладает свойством дискретности.

В заключение надо подчеркнуть, что множество натуральных чисел, упорядоченное отношением, больше обладает свойствами бесконечности и дискретности. [4,5,6]

Методически будет лучше, если заканчивая эту тему добавить еще два определения: определение разности и определение частного.

Определение 1.6. Разностью двух натуральных чисел a и b называется число c, удовлетворяющее равенству  b+c=a, т.е.  a-b=c \Leftrightarrow b+c=a.

Так как, используя операцию вычитания по сумму и одному слагаемому, находим второе слагаемое, вычитание называем операцией, обратной сложению.

Определение 1.7. Частным двух натуральных чисел a и b называется число c, удовлетворяющее равенству  bc=a, т.е.    a:b=c \Leftrightarrow bc=a.

Деление называем операцией обратной умножению.

Об условиях существования разности и частного так же как и о единственности ничего не говорим, поскольку об этом еще речь пойдет в следующей теме.

Здесь только ставится цель показать, как в целом излагается аксиоматическое построение теории натуральных чисел.

Весьма важное значение имеет введение числа 0. Надо коротко остановиться на понятии расширенного множества натуральных чисел, т. е. выяснить суть понятия множества целых неотрицательных чисел.

Дополним множество натуральных чисел N еще одним елементом – нулем, который обозначается 0. При этом надо положить, что  0<n для всех   n \in N.

Множество N = {1, 2, 3, …, , …} натуральных чисел заменяем множеством   N_0 = \left \1, 2, 3, …, , …{ \right \} целых неотрицательных чисел.

Операции с нулем дополнительно определяются равенствами:

a+0=0+a=a                a-0=a
a0=0a=0                    a-a=0
0+0=0                        0-0=0
00=0                           0:a=0  (где   a \neq 0 ).

Существенно заметить, что это не единственный способ введения понятия нуля. Нуль можно ввести и в систему аксиом Пеано, заменив аксиому единицы аксиомой нуля. [4,6]

Теперь необходимо ввести понятие конечного множества. Здесь нужно подчеркнуть, что понятие натурального числа введенное выше позволяет обозначать мощности (число элементов) конечных множеств.

Определение 1.8. Множество всех натуральных чисел, меньших или равных некоторому числу n, называется отрезком натурального ряда и обозначается [1,n].

Определение 1.9. Множество, равномощное отрезку натурального ряда [1,n], называют конечным множеством, а число n— числом элементов конечного множества.

Множество, не являющееся конечным, называют бесконечным.

Если можно установить хоть одно биективное отображение между множеством A и отрезком [1,n], т.е.   A\leftrightarrow \left [1,n \right ] , то говорят, что множество A имеет  элементов: m(A) = n.

Теорема 1.14. Конечное множество равномощно только одному отрезку натурального ряда.

Теорема 1.15. Два равномощных конечных множества имеют одно и то же количество элементов.

Полученная система (N, +, ., 1, <) натуральных чисел двумя различными подходами – аксиоматическим и теоретико-множественным – дает возможность студентам педагогических факультетов всесторонне изучить сущность данного вопроса в целом. Кроме этого эти два подхода позволяют двумя способами установить такие свойства множества N_0 целых неотрицательных чисел, как упорядоченность, бесконечность и дискретность, являющихся важными моментами в процессиональной подготовке будущего специалиста. [4,5,6]

Краткие исторические сведения возникновения понятия натурального числа и нуля, история введения ныне употребляемых знаков “+”, “-“, “<” и других необходимы для следующих целей:

  1. Чтобы будущий учитель сам знал о истории возникновения основных математических фактов.
  2. Чтобы учитель сам знал о исторические сведения мог применять в своей работе на уроках и внеурочных занятиях по математике.
  3. Чтобы учитель мог математику сделать более интересной, увлекательной для своих учеников.

Исторические сведения можно найти в учебных пособиях и в другой литературе по истории математики [1,2,5,7].

ЛИТЕРАТУРА:
  1. Баранов, С.П., Волкова Т. В. Подготовка учителей начальной школы, Педагогика, Москва, 1972.
  2. Виленкин Н. Я. Математика, Учебное пособие для студ. пед. фак., Москва, Просвещение, 1977.
  3. Глейзер, Г.И. История математики в школе, IX-X кл, Просвещение, М., 1983.
  4. Маринова, В.М. и др. Математика, учебник, „Абагар“, Велико Търново, 1995.
  5. Осъвременяване на обучението по математика, сборник статии, I част, НП, С., 1976.
  6. Петканчин, Б. Основи на математиката, НИ, С. , 1968.
  7. Столяр, А. А. Педагогика математики: Учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических вузов — Минск: «Вышэйшая школа», 1986.- 414 с.
Подписаться
Уведомить о
guest
0 комментариев
Inline Feedbacks
View all comments