НЕСТАНДАРТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ, ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ, ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

Статья опубликована в рамках: Международной научно-практической интернет-конференции «Актуальные проблемы методики обучения информатике и математике в современной школе» (Россия, г.Москва, МПГУ, 22 — 26 апреля 2019г.)

НЕСТАНДАРТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ, ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ, ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

Самуйлова Алёна Михайловна,
студентка, 
Воронежский государственный
педагогический университет

Аннотация: данная статья посвящена нестандартным методам решения показательных, логарифмических, иррациональных неравенств, включенные в изучении школьного курса математики старших классов.
Ключевые слова: неравенства, решения неравенства, показательные неравенства, логарифмические неравенства, иррациональные неравенства.
 

В математике, как известно, выше всего ценится не просто верное решение, но и наиболее короткое из возможных, как говорят сами математики, более рациональное.

Как найти такое решение? Что для этого необходимо знать? Чем владеть? Что это даёт ученику? Или это только удел одарённых учеников? На эти вопросы мы попробуем найти ответы.

Не всякое неравенство в результате преобразований или с помощью удачной замены переменной может быть сведено к неравенству того или иного стандартного вида, для которого существует определенный алгоритм решения. В таких случаях иногда оказывается полезным использовать другие методы решения (см., например, [1]).

Рассмотрим некоторые из нестандартных методов решения неравенств на примерах: использования числовых неравенств, метод замены множителей в показательных, логарифмических, неравенств.

1. Метод использования числовых неравенств.  
\sqrt{x^2+4}+\frac{4}{\sqrt{x^2+4}}\leqslant 4-log_{3}(x^4+x^2+1)^{4}

    1. Преобразуем левую часть неравенства, получаем:  2\left (\frac{\sqrt{x^2+4}}{2} +\frac{2}{\sqrt{x^2+4}} \right)
      Применяя формулу этого метода 
      ( a+\frac{1}{a}\geqslant 2 при a>0,  a+\frac{1}{a}\leqslant -2  при a<0), получаем, что для любого x справедливо неравенство: 2\left (\frac{\sqrt{x^2+4}}{2} +\frac{2}{\sqrt{x^2+4}} \right)\geqslant 4,  Замечаем, что она больше четырёх, как сумма двух взаимно обратных положительных величин, и только при x=0 она равна 4.
      Так же для любого x справедливо неравенство: 
      4-log_{3}(x^4+x^2+1)^{4}\leqslant 4 Равенство здесь справедливо, когда x=0.
    2. Следовательно, неравенство имеет одно решение x=0.
    3. Из последних двух неравенств следует, что исходное неравенство справедливо лишь тогда, когда обе части исходного неравенства равны 4, а это возможно лишь при х = 0.
      Ответ: 0.
      kjj
  1. Решение неравенств методом замены множителей.

Суть метода замены множителей (МЗМ) состоит в том, чтобы с помощью равносильных преобразований заменить каждый множитель в области его существования на более простой множитель, в конечном  счёте, рациональный и имеющий те же интервалы знакопостоянства   (на множитель равного знака).

Показательные неравенства:

Таким образом, в рамках элективного курса учитель получает возможность разобрать весь комплекс характерных для решения иррациональных неравенств методов и приёмов, в том числе и нестандартных.

ЛИТЕРАТУРА:

  1. Беляева Э.С. Уравнения и неравенства с параметром. В 2 ч. Ч. 2: учебное пособие/Э.С. Беляева, А.С.Потапов, С.А.Титоренко. – М.:Дрофа, 2009.- 444с.
  2. Голубев В.И. Решение сложных и нестандартных задач по математике/В.И. Голубев — М.:ИЛЕКСА, 2007. — 252с.

 

avatar
  Подписаться  
newest oldest most voted
Уведомить о
Боженкова Людмила Ивановна
Боженкова Людмила Ивановна

Алёна Михайловна, рассмотренные в статье методы решения неравенств широко известны и включены в некоторые учебники по алгебре и началам математического анализа. В чём суть Вашей методики обучения учащихся решению неравенств? Успехов!

Алёна Михайловна
Алёна Михайловна

Людмила Ивановна, далеко не все методы решения неравенств используются и известны школьникам. В данной статье описываются 2 нестандартных метода решения показательных, логарифмических и иррациональных неравенства. Их может использовать учитель математики на доп. занятиях и выпускнику при сдаче ЕГЭ.

Боженкова Людмила Ивановна
Боженкова Людмила Ивановна

АЛЁНА МИХАЙЛОВНА, ТОГДА СЛЕДУЕТ ВЫПОЛНИТЬ АНАЛИЗ УЧЕБНИКОВ И РАЗЛИЧНЫХ ПОСОБИЙ ПО МЕТОДАМ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ.